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記事No.50571に関するスレッドです
★ 逆三角関数とマクローリン展開 / はるさめ
(1)は数学的帰納法で示せば良いことはわかるのですが、n=k+1で成立することを示すことができませんでした。(2)(3)もわかりません。

よろしくお願いします。
No.50571 - 2018/05/24(Thu) 23:24:31
☆ Re: 逆三角関数とマクローリン展開 / X
以下、例えばf(x)のn回微分を
f_(n)(x)
と書くことにします。(^を使うとべき乗と混同しやすいですので)

(1)
これは数学的帰納法は使いません

一般にn回微分可能な関数f(x),g(x)に対し
{(d^n)/(dx^n)}(fg)=Σ[k=0〜n](nCk){f_(k)(x)}{g_((n-k))(x)}
(要は積のn階微分の公式です。
解析学の教科書の微分の項目に載っているので調べてみて下さい。)
これを踏まえて
(1+x^2)f'(x)=1
の両辺をxでn-1回微分してみましょう。

(2)
a[n]=f_(n)(0)
と置くと、(1)の結果により
a[n+1]+n(n-1)a[n-1]=0 (n≧1)
∴a[2n]=p[n],a[2n-1]=q[n]
と置くと
p[n]+(2n-1)(2n-2)p[n-1]=0 (A)
q[n]+(2n-2)(2n-3)q[n-1]=0 (B)
p[0]=f(0)=0 (C)
q[0]=f'(0)=1 (D)
(C)(D)の条件の下で{p[n]},{q[n]}の漸化式(A)(B)を
解きましょう。

(3)
(2)の結果を使います。
(これはおまけ問題です。上記の方針の文言だけで理解できないのであれば、
解析学の教科書のマクローリン展開の項目を復習しましょう。)
No.50589 - 2018/05/25(Fri) 18:26:55