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記事No.50572に関するスレッドです
★
極限値を求める問題
/ はるさめ
引用
(2)〜(6)の解答までの道筋がわかりません。
巻末の解答では、
(2)n＜mのとき0,n=mのときc/a,n＞mのとき∞
(3)1
(4)∞
(5)e^2
(6)-4/π
となっています。よろしくお願いします。
No.50572 - 2018/05/24(Thu) 23:29:09
☆
Re: 極限値を求める問題
/ X
引用
(2)
(i)n＜mのとき
極限を求める関数の分母分子を
x^nで割ってみましょう。
(ii)n=mのとき
極限を求める関数の分母分子を
x^nで割ってみましょう。
(iii)n＞mのとき
極限を求める関数の分母分子を
x^mで割ってみましょう。
(3)
(与式)=lim[x→1+0]{{(sin(x-1))/(x-1)}^(x^2-1)}(x-1)^(x^2-1)
=lim[x→1+0]{{(sin(x-1))/(x-1)}^(x^2-1)}{(x-1)^(x-1)}^(x+1)
ここで
lim[x→1+0]log{(x-1)^(x-1)}=lim[x→1+0](x-1)log(x-1)
=lim[x→1+0]{log(x-1)}/{1/(x-1)}
=lim[x→1+0]{1/(x-1)}/{-1/(x-1)^2}
((∵)ロピタルの定理)
=lim[x→1+0](1-x)=0
∴lim[x→1+0](x-1)^(x-1)=1
となるので
(与式)=(1^0)・1^2=1
(4)
x→+0のとき
e^x-e^(-x)→+0
e^x+e^(-x)→2
e^(2x)=1
∴(与式)=∞
となります。
(5)
{e^x+e^(-x)}/{e^x-e^(-x)}-1=h
と置くと
{2e^(-x)}/{e^x-e^(-x)}=h
2/{e^(2x)-1}=h
e^(2x)=2/h+1
∴(与式)=lim[h→+0](1+h)^(2/h+1)
=lim[h→+0](1+h){(1+h)^(1/h)}^2
=e^2
(6)
π/2-arctanx=t
と置くと
(与式)=lim[t→+0]{tan(π/2-t)}{2-π/(π/2-t)}
=lim[t→+0]{1/tant}{(-2t)/(π/2-t)}
=lim[t→+0]{(cost)/sint}{(-2t)/(π/2-t)}
=lim[t→+0]{1/{(sint)/t}}{(-2cost)/(π/2-t)}
=-4/π
No.50582 - 2018/05/25(Fri) 17:56:06
