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記事No.50671に関するスレッドです
★ (No Subject) / っ
立て続けの質問すみません
どうやってとくか見当もつきませんお願いします
No.50671 - 2018/05/28(Mon) 19:39:08
☆ Re: / X
(1)
(与式)=lim[n→∞]{(2/3)^n}{1+(-1/2)^n}/{1+5・(-1/3)^n}
=0

(2)
f(n)={(-2)^n}/n!
と置くと
(i)n=2k-1のとき
n!=(2k-1)!＞1・2・2・4・4・…・{2(k-1)}・{2(k-1)}
∴n!＞{2^(2(k-1))}(k!)^2
となるので
0＜|f(n)|={2^(2k-1)}/(2k-1)!＜2/(k!)^2
∴はさみうちの原理により
lim[n→∞]|f(n)|=0
∴lim[n→∞]f(n)=0
(ii)n=2kのとき
n!=2k!=2k・(2k-1)!＞2k・1・2・2・4・4・…・{2(k-1)}・{2(k-1)}
∴n!＞2k{2^(2(k-1))}(k!)^2
となるので
0＜|f(n)|={2^(2k)}/(2k)!＜4k/(k!)^2=4/{k!(k-1)!}
∴はさみうちの原理により
lim[n→∞]|f(n)|=0
∴lim[n→∞]f(n)=0

以上から
(与式)=0

(3)
これは無限等比級数の和を求める問題です。
(与式)=lim[n→∞]2{1-1/2^n}/(1-1/2)
=2/(1/2)=4
No.50677 - 2018/05/28(Mon) 20:20:51
☆ Re: / っ
ありがとうございます！！
No.50678 - 2018/05/28(Mon) 20:23:26
☆ Re: / IT
(2) 別解
n≧3のとき、0＜|{(-2)^n}/n!|≦{(2^2)/2!}(2/3)^(n-2) →0　（n→∞）
No.50679 - 2018/05/28(Mon) 21:40:28