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記事No.50805に関するスレッドです
★ (No Subject) / タロウ
最初から、分かりません…。
No.50805 - 2018/06/03(Sun) 11:05:08
☆ Re: / らすかる
2次の係数が正である二次方程式f(x)=0が
0＜α＜1＜βである2実数解α,βを持つ条件は
f(0)＞0かつf(1)＜0
f(0)＞0から3k＞0 ∴k＞0
f(1)＜0から1+(4k-3)+3k＜0 ∴k＜2/7
従ってkの範囲は 0＜k＜2/7

解と係数の関係からα+β=-4k+3, αβ=3kなので
(β-α)^2=(α+β)^2-4αβ=(-4k+3)^2-4(3k)=16k^2-36k+9

16k^2-36k+9=16(k-9/8)^2-45/4から
16k^2-36k+9はk＜9/8で減少なので
0＜k＜2/7から1/49＜16k^2-36k+9＜9
αとβの差が整数ならば(β-α)^2=16k^2-36k+9は平方数なので
16k^2-36k+9は1か4でなければならない。
0＜k＜2/7かつ16k^2-36k+9=1のときk=1/4
このときf(x)=x^2-2x+3/4=(x-1/2)(x-3/2)なので
α=1/2,β=3/2
0＜k＜2/7かつ16k^2-36k+9=4のときk=(18±2√61)/16で
kが有理数にならない。
従って答えは
k=1/4,α=1/2,β=3/2
No.50806 - 2018/06/03(Sun) 11:45:51
☆ Re: / タロウ
最初は、判別式ではないのですね！
よく分かりました。ありがとうございます！
No.50817 - 2018/06/03(Sun) 23:13:47