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記事No.50925に関するスレッドです
★ 二次関数 高1 / 蘭
こんにちは！
またまたバカな蘭です。

問題はこうです。
「aは定数とする。関数y=-x^2+4ax-a(0≦x≦2)について、最小値と最大値を求めろ。」

答えは分かっていません。

よろしくおねがいいたします！


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No.50915 - 2018/06/07(Thu) 20:15:09
☆ Re: 二次関数 高1 / ヨッシー
f(x)＝−x^2＋4ax−a と置きます。
f(x)＝−(x−2a)^2＋4a^2−a　と書けるので、
0≦x≦2 という範囲がなかったら、
最大値は　x＝2a のとき、4a^2−a、最小値はなし（いくらでも小さくなる）です。

最大値となる点(2a, 4a^2−a) を頂点といいますが、
0≦x≦2 という範囲が付けられたとき、頂点がこの範囲に含まれるかどうか。
含まれていたら、そこが最大。最小は f(0) か f(2) のどちらか小さい方です。
一般に頂点からより離れるほど小さくなります。
また、頂点が 0≦x≦2 より左にあるときは、f(0) が最大 f(2) が最小。
頂点が 0≦x≦2 より右にあるときは、f(0) が最小 f(2) が最大。
となります。
なお、f(0)＝−a, f(2)＝7a−4 です。

以上を踏まえて、解答を書くと、
2a＜0　つまり、a＜0 のとき　最大値　f(0)＝−ａ、最小値　f(2)＝7a−4
0≦2a≦1 つまり、0≦ａ≦1/2 のとき　最大値 4a^2−a、最小値 f(2)＝7a−4
1≦2a≦2 つまり　1/2≦ａ≦1 のとき　最大値 4a^2−a、最小値 f(0)＝−ａ
2＜2a つまり　1＜ａ のとき　最大値 f(2)＝7a−4、最小値f (0)＝−ａ
となります。

2a＝1 の場合は、0≦2a≦1 と 1≦2a≦2 の両方の場合に含まれていますが、
どちらか片方だけに含むような解答でもＯＫです。
0≦2a≦1 と 1＜2a≦2　または　0≦2a＜1 と 1≦2a≦2。
ただし、0≦2a＜1 と 1＜2a≦2　はどちらにも含まれておらずダメですが、
別の行
2a＝１ つまり、ａ＝1/2 のとき　最大値 1/2、最小値 f(0)＝f(2)＝−1/2
を加えてあれば、ＯＫです。
No.50921 - 2018/06/08(Fri) 09:17:27
☆ Re: 二次関数 高1 / 蘭
なるほど！
とても分かりやすい解答ありがとうございます！！

ここで、質問なのですが、私はこのように、

0≧a、a≧1などと、ヨッシー様が0>a、a>1としているところを、0を含む、1を含むにしてしまっています。
これは、解答的にオッケーでしょうか？？

判断だけよろしくお願いします。
No.50925 - 2018/06/08(Fri) 17:43:06
☆ Re: 二次関数 高1 / ヨッシー
この問題の場合は、ＯＫです。
No.50929 - 2018/06/08(Fri) 23:36:29