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記事No.50997に関するスレッドです
★ ごめんなさい、追加で教えてください / 小青竜湯
すいません
この間の小テストの問題なんですけど難しくて
教えてください
お願いします
No.50997 - 2018/06/12(Tue) 19:00:41
☆ Re: ごめんなさい、追加で教えてください / X
問題の線分の長さの和をL,正2n角形の外接円の
中心をO、半径をRとすると
L=Σ[k=0〜2n-1]|↑OP-↑OA[k]|^2
=Σ[k=0〜2n-1]{|↑OP|^2-2↑OP・↑OA[k]+R^2}
=2n|↑OP|^2+2nR^2+2↑OP・{Σ[k=0〜2n-1]↑OA[k]}
=2n|↑OP|^2+2nR^2+2↑OP・{Σ[k=0〜n-1](↑OA[k]+↑OA[n+k])}
=2n|↑OP|^2+2nR^2+2↑OP・{Σ[k=0〜n-1]↑O}
=2n|↑OP|^2+2nR^2+2↑OP・↑O
=2n|↑OP|^2+2nR^2
≧2nR^2(不等号の下の等号成立はOとPが一致するとき) (A)
ここで△OA[0]A[1]において余弦定理により
1^2=R^2+R^2-2・R・R・cos(2π/(2n))
これより
1=(2R^2)(1-cos(π/n))
R^2=1/{2(1-cos(π/n))} (B)
(A)(B)より求める最小値は
n/{1-cos(π/n)}
このときの点Pの位置は正2n角形の対角線の交点
(注)
正2n角形の対角線の交点と外接円の中心は一致します。
No.50998 - 2018/06/12(Tue) 19:41:24
☆ Re: ごめんなさい、追加で教えてください / 黄桃
0≦k<n について、
PA[k]+PA[n+k]
の最小値は明らかに Pが線分 A[k]A[n+k] 上にある時である。
もし、Pが、すべての k について、このような条件を満たすことがあれば、 PA[0]+PA[1]+...+PA[2n-1] =?農[k=0,n-1] PA[k]+PA[n+k} が最小になる。
正多角形の中心OにPがある時にこの条件を満たし、それ以外では満たさない。

Σ[k=0〜2n-1]|↑OP-↑OA[k]|^2
ではなくて、
Σ[k=0〜2n-1]|↑OP-↑OA[k]|
の最小を求めるため、シグマの各項に√がつき、計算で出すのは大変そうです
（正(2n+1)角形でも同じ答でしょうが、小テストだから簡単に答が出る2nなのでしょう）。
No.51006 - 2018/06/13(Wed) 08:06:50
☆ Re: ごめんなさい、追加で教えてください / X
>>黄桃さんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>小青竜湯さんへ
ごめんなさい。黄桃さんの仰る通り、
長さの和を長さの二乗の和と混同していました。
No.51020 - 2018/06/13(Wed) 18:17:45