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記事No.51082に関するスレッドです
★ 回転体の側面積の公式 / 堀内
回転体の側面積の公式を導く。ｆ（ｘ）は微分可能で、ｆ（ｘ）＞０とする。
定積分から面積、体積の公式を求めたように、aからｘまでの回転体の側面積をＳ（ｘ）とする。
このとき、Ｓ（ｘ＋Δｘ）−Ｓ（ｘ）＝ΔＳとして、ΔＳを?@Δｘの一次近似で表すもしくは?AΔＳ/Δｘを評価、挟み撃ちする。
今回は?Aでやることにする。Δｘ＞０とする。
添付画像のように、[ｘ,ｘ+Δｘ]のｆ（ｘ）の最大、最小をＭ，ｍとして、評価→挟み撃ちでΔＳ/Δｘを求められたのですが、正解とは違います。
もっともらしい式が得られて、自分としては何ら誤りはないように思えてしまうのですが、どこがまずいのですか？
No.51082 - 2018/06/15(Fri) 22:35:12
☆ Re: 回転体の側面積の公式 / 関数電卓
> どこがまずいのですか？
x〜x＋Δx の部分を回転させて出来る円錐台の側面積を寄せ集める → 積分する。
x が変わると、円錐台の母線の傾きが変わるから。
No.51083 - 2018/06/15(Fri) 23:02:29
☆ Re: 回転体の側面積の公式 / IT
関数電卓さんが書いておられるとおりです。
少し言い方を変えると
表面に細かい皺が寄ると表面積が大きくなります。
そのことが考慮・反映されてないですね。
No.51084 - 2018/06/15(Fri) 23:03:37
☆ Re: 回転体の側面積の公式 / 堀内
回答ありがとうございます。
立てた評価の式（最小値を半径とする円柱≦ΔＳ≦最大値を最小値を半径とする円柱）が違うのですか？
No.51086 - 2018/06/15(Fri) 23:17:03
☆ Re: 回転体の側面積の公式 / IT
> 立てた評価の式（最小値を半径とする円柱≦ΔＳ≦最大値を最小値を半径とする円柱）が違うのですか？
そうです。
No.51088 - 2018/06/15(Fri) 23:27:38
☆ Re: 回転体の側面積の公式 / 堀内
x が変わると、円錐台の母線の傾きが変わるから
最小値を半径とする円柱≦ΔＳ≦最大値を半径とする円柱は成り立たないというのがピンときません。
例えば、ｘによっては最小値を半径とする円柱の側面積より小さくなったり、最大値を半径とする円柱の側面積より大きくなったりしてしまうのですか？
No.51090 - 2018/06/15(Fri) 23:54:45
☆ Re: 回転体の側面積の公式 / IT
> 例えば、ｘによっては最小値を半径とする円柱の側面積より小さくなったり、最大値を半径とする円柱の側面積より大きくなったりしてしまうのですか？

「x によっては、」というよりも「f(x) によっては」最大値を半径とする円柱の側面積より大きくなります。
最小値を半径とする円柱の側面積より小さくなることはないと思います。

簡単な例では、円錐を考えるとよいと思います。
No.51092 - 2018/06/16(Sat) 02:37:26
☆ Re: 回転体の側面積の公式 / 堀内
何度もすみません。
円錐の場合、具体的に計算してはないのですが、少し考えてみると、
円錐の回転元の直角三角形の傾きが大きいほど底面の円からできた円柱より大きくなり、小さいほど底面の円からできた円柱に近づいてゆくという感じでしょうか？
No.51093 - 2018/06/16(Sat) 03:07:08
☆ Re: 回転体の側面積の公式 / IT
そういうことです。
No.51094 - 2018/06/16(Sat) 03:13:48
☆ Re: 回転体の側面積の公式 / IT
例えば、
x=0から1 までで　1-(1/n)≦ f[n](x)≦1+(1/n) だとしても　n→∞のとき　
曲線y=f[n](x)をｘ軸を中心に回転して出来る曲面の面積は半径1の円柱の側面積に近づくとは限りません。f[n](x) が細かくギザギザして行けば側面積は、いくらでも大きくなりえます。
No.51099 - 2018/06/16(Sat) 12:10:09
☆ Re: 回転体の側面積の公式 / 堀内
わかりました。
正しい証明を読み、高校数学程度の厳密さでは理解しました。
ありがとうございます。
No.51112 - 2018/06/16(Sat) 18:41:40