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記事No.51269に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ 演習
引用
practice20お願いします
No.51255 - 2018/06/21(Thu) 12:39:10
☆
Re:
/ noname
引用
以下に解答の概略を与えておきます．この概略を参考にして，一度答案を作成してみて下さい．
_____________________________
[解答の概略]
(1-1)f(x)がx＝0で連続となるならば，極限lim_[x→0]f(x)が存在して
lim_[x→0]f(x)＝f(0)
である．このこと及び関数f(x)の定義より
lim_[x→0](cos(x)-1)/x^2
＝lim_[x→0]f(x)
＝f(0)
＝a.
∴a＝lim_[x→0](cos(x)-1)/x^2＝.
(1-2)まずはf(x)の取り得る値を調べる．
?@-1＜x＜1の時
lim_[n→∞]x^n＝0であるから，
f(x)＝lim_[n→∞](1+x)/(1+x^n)＝….
?Ax＝1,-1の時
x＝1の場合は，(1+x)/(1+x^n)の値を考えることにより，f(1)の値が求まる．一方でx＝-1の場合は，nが奇数の時は(1+x)/(1+x^n)が有限値ではなく，nが偶数の時は(1+x)/(1+x^n)が有限値であるため，極限lim_[n→∞](1+x)/(1+x^n)は存在しない．よって，f(-1)は定義出来ない．
?Bx＜-1,1＜xの時
この時，|x|＞1である．これと三角不等式
||a|-|b||≦|a+b|≦|a|+|b|（a,bは実数）
を用いると，
0≦|(1+x)/(1+x^n)|
＝|1+x|/|1+x^n|
≦|1+x|/|1-|x|^n|
≦(1+|x|)/|1-|x|^n|
＝(1/|x|^n+1/|x|^{n-1})/(1/|x|^n-1)
→0（n→∞）
よって，はさみうちの原理より
lim_[n→∞]|(1+x)/(1+x^n)|＝0.
∴f(x)＝….
以上により，f(x)の定義域と取り得る値が分かる．
一方，f(x)の連続性については，x＜-1,1＜xと-1＜x＜1の時のf(x)が連続であることから，x＝1の時の連続性を考えれば十分である．f(x)がx＝1で連続であるとは「極限lim_[x→1]f(x)が存在してその値がf(1)に等しい」ということであるから，次の2点；
・lim_[x→1+0]f(x)＝lim_[x→1-0]f(x)
・lim_[x→1]f(x)＝f(1)
が両方とも成り立つかどうかを確認すればよい．
(2)f(x)がx＝1で微分可能であれば，f(x)はx＝1で連続である．よって，極限lim_[x→1]f(x)が存在してその値がf(1)に等しい．特に，
lim_[x→1+0]f(x)＝lim_[x→1-0]f(x)
が成り立つ．この式を計算することで，aとbに関するある関係式が得られる．次に，f(x)がx＝1で微分可能であるから，
lim_[x→1+0]f'(x)＝lim_[x→1-0]f'(x).
が成立する必要がある．これより，aとbに関する第二の関係式が得られる．いま得られた2つのa,bの関係式を連立して解けば，aとbの値が求まる．
No.51265 - 2018/06/22(Fri) 00:35:03
☆
Re:
/ 演習
引用
これでいいですか
No.51269 - 2018/06/22(Fri) 13:01:58
