(2)(3)を教えてください
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No.51496 - 2018/07/01(Sun) 00:40:59
| ☆ Re: 三角関数 / X | | | (2)
条件から
AP^2=AQ^2
∴(3cosθ-1)^2+(3sinθ)^2=(2cos2θ-1)^2+(2sin2θ)^2
両辺を展開し、整理すると
10-6cosθ=5-4cos2θ (A)
ここでcosθ=tと置くと
0≦θ＜2π
より
-1≦t≦1 (B)
で(A)は
10-6t=5-4(2t^2-1) (A)'
(B)に注意して、(A)'をtの二次方程式
として解き
cosθ=1/2,1/4
(3)
条件から
∠PAQ=π/3
∴cos∠PAQ=1/2
となるので
(↑AP・↑AQ)/(AP・AQ)=1/2 (C)
ここで条件から
↑AP=(3cosθ-1,3sinθ)
↑AQ=(2cos2θ-1,2sin2θ)
又、条件からAP=AQゆえ
AP・AQ=AP^2
以上から(C)は
{(3cosθ-1)(2cos2θ-1)+6sinθsin2θ}/{(3cosθ-1)^2+(3sinθ)^2}=1/2
これより
{(3cosθ-1)({2{2(cosθ)^2-1}-1)+12cosθ(sinθ)^2}/(10-6cosθ)=1/2
{(3cosθ-1){4(cosθ)^2-3}+12cosθ{1-(cosθ)^2}}/(10-6cosθ)=1/2 (C)'
(C)'に(2)の結果を代入し、(C)'を満たすかどうかを確かめると
cosθ=1/2
が(C)'を満たしていることが分かります。
∴0≦θ＜2π
より
θ=π/3,5π/3
後はこれをP,Qの座標に代入し、求める座標は
P(3/2,(3√3)/2),Q(-1,√3)
又は
P(3/2,-(3√3)/2),Q(-1,-√3)
となります。
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No.51506 - 2018/07/01(Sun) 11:21:35 |
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