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記事No.51570に関するスレッドです
★ 中学受験算数 既約分数 / しゅう👦🏻
98の既約分数は、
1 3
ー ー…など98の最大公約数以外までわかったのですが、何個ある
98 98
かわからないので探し方の解説お願いします。答えは21です。




No.51570 - 2018/07/04(Wed) 09:03:17
☆ Re: 中学受験算数 既約分数 / ヨッシー
最大公約数ではなく、98 と 1 以外の約数を持たないもの（98 と互いに素といいます）ですね。

　98＝2×7×7
なので、分子が２の倍数でも７の倍数でもないものについて合計します。
（以下、分子だけの足し算を考えます）
全部足すと
　１＋２＋・・・＋９７＝４７５３
２の倍数の和は
　２＋４＋・・・＋９６＝２×（１＋２＋・・・＋４８）＝２×１１７６＝２３５２
７の倍数は
　７＋１４＋・・・＋９１＝７×（１＋２＋・・・＋１３）＝７×９１＝６３７
１４の倍数は
　１４＋２８＋・・・＋８４＝１４×（１＋２＋・・・＋６）＝１４×２１＝２９４
よって、２，７いずれの倍数でもない数の和は
　4753-2352-637+294=2058
よって、求める和は
　2058/98＝21　・・・答え
No.51571 - 2018/07/04(Wed) 09:15:50
☆ Re: 中学受験算数 既約分数 / ヨッシー
別解
上の回答の「互いに素」という言葉を使います。意味は上の通りです。
また、単に「互いに素」といえば「９８と互いに素」の意味であると受け取ってください。

例えば、
　１が互いに素なら　９８−１＝９７　も互いに素です。
　２は互いに素ではなく　９８−２＝９６　も互いに素ではありません。
理由
　ｎが９８と１以外の公約数ｋを持つなら、９８＝ａｋ、ｎ＝ｂｋ　（ａ，ｂは整数）
と書けて、９８−ｎ＝（ａ−ｂ）ｋ　と書けるので、
　ｎ　と　９８−ｎ　の片方だけ互いに素でないということはありえないのです。

すると、１と９７、３と９５、５と９３　のように、互いに素な数で、足して９８になる組が
いくつか出来ます。
よって、互いに素な数の個数だけ数えれば、答えを導くことが出来ます。
１〜９７までで９７個あります。
２の倍数は　（９６÷２＝）４８個あります。
７の倍数は　（９１÷７＝）１３個あります。
１４の倍数は　（８４÷１４＝）６個あります。
よって、互いに素な数の個数は
　９７−４８−１３＋６＝４２
よって、足して９８になる組が　（４２÷２＝）２１組出来るので、
分子の和は　２１×９８　分母９８で割ると　和は２１となります。
No.51572 - 2018/07/04(Wed) 09:29:21
☆ Re: 中学受験算数 既約分数 / しゅう👦🏻
どちらもありがとうございます。どちらもよく分かりました。別解の方が計算しやすくて時間がかからないので別解で解いてみます。
No.51574 - 2018/07/04(Wed) 09:45:19