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記事No.51597に関するスレッドです
★ 力学 / とおます
この問題を教えていただきたいです。お願いいたします。
No.51597 - 2018/07/04(Wed) 18:35:59
☆ Re: 力学 / X
(a)
条件から
↑r=(lcosθ)↑e[x]+(lsinθ)↑e[y]
又、速度ベクトル、加速度ベクトルをそれぞれ
↑v,↑aとすると
↑v=(d/dt)↑r={-(dθ/dt)lsinθ}↑e[x]+{(dθ/dt)lcosθ}↑e[y]
↑a=(d/dt)↑v
={-(d^2θ/dt^2)lsinθ-{(dθ/dt)^2}lcosθ}↑e[x]+{(d^2θ/dt^2)lcosθ-{(dθ/dt)^2}lsinθ}↑e[y]

(b)
時刻tにおける原点周りの角運動量ベクトルを↑Lとすると
(a)の↑vを用いて
↑L=↑r×(m↑v)
=m{(lcosθ)↑e[x]+(lsinθ)↑e[y]}×{{-(dθ/dt)lsinθ}↑e[x]+{(dθ/dt)lcosθ}↑e[y]}
=(ml^2){(dθ/dt)(cosθ)^2+(dθ/dt)(sinθ)^2}↑e[x]×↑e[y]
=(ml^2)(dθ/dt)↑e[x]×↑e[y] (A)
一方、物体に働く空気抵抗による力は
k↑v
∴物体に関する回転の運動方程式は
d↑L/dt=↑r×(-k↑v)
これより
(ml^2)(d^2θ/dt^2)↑e[x]×↑e[y]=(-kl^2)(dθ/dt)↑e[x]×↑e[y]
∴求める微分方程式は
m(d^2θ/dt^2)=-k(dθ/dt)

(c)
前半)
(b)の結果をdθ/dtについての微分方程式として解くと
dθ/dt=C[1]e^(-kt/m) (B)
(C[1]は任意定数)
ここで条件からt=0のときdθ/dt=v[0]/l
∴C[1]=v[0]/l
となるので(B)は
dθ/dt={v[0]/l}e^(-kt/m)
∴θ=-{mv[0]/(kl)}e^(-kt/m)+C[2] (B)'
(C[2]は任意定数)
ここで条件からt=0のときθ=0
∴C[2]=mv[0]/(kl)
となるので(B)'は
θ={mv[0]/(kl)}{1-e^(-kt/m)} (B)"
これを(a)の結果に代入して
↑r=(lcos{{mv[0]/(kl)}{1-e^(-kt/m)}})↑e[x]+(lsin{{mv[0]/(kl)}{1-e^(-kt/m)}})↑e[y]
後半)
停止するまでにN回転したとすると(B)"により
N=lim[t→∞]θ/(2π)
=mv[0]/(2πkl)
No.51598 - 2018/07/04(Wed) 19:41:50
☆ Re: 力学 / とおます
ありがとうございます！！
No.51610 - 2018/07/05(Thu) 00:46:39