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記事No.51601に関するスレッドです
★ 図形について。 / コルム
次の問題で、なぜ直角二等辺三角形を使うのでしょうか？教えていただけると幸いです。r,rまでは、わかったのですが。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.51601 - 2018/07/04(Wed) 21:46:37
☆ Re: 図形について。 / コルム
(1)にかかれていますが、二等辺三角形までしかわかりません。√2rはどこから出てきたのでしょうか？教えていただけると幸いです。
No.51603 - 2018/07/04(Wed) 21:48:36
☆ Re: 図形について。 / ヨッシー
立体Ｗの体積を、普通に積分で求めることは出来ますか？
これが出来ないと、上の解説は理解できないと思います。
No.51622 - 2018/07/05(Thu) 09:02:30
☆ Re: 図形について。 / コルム
すみません。そこからわかりません。
どうやって、積分で求めればよいのでしょうか？
No.51634 - 2018/07/05(Thu) 14:47:38
☆ Re: 図形について。 / コルム
調べると、分かりました。
∫（ｘ＝０〜ｒ/２）π（√ｒ＾２−ｘ＾２）＾２ｄｘ
＝π〔ｒ＾３/３−ｘ＾３/３〕（０〜ｒ/２）
＝π（ｒ＾３/３−７ｒ＾３/２４）
＝π（ｒ＾３/２４）
＝ｒ＾３/２４π
でしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。間違いがあれば、指摘をお願いします。
No.51636 - 2018/07/05(Thu) 16:33:07
☆ Re: 図形について。 / コルム
間違えました。
正しくは、
＝π〔ｒ＾２ｘ−ｘ＾３/３〕（０〜ｒ/２）
＝π〔ｒ＾３/２−ｒ＾３/２４−０〕
＝π〔１１ｒ＾３/２４〕
＝１１ｒ＾３/２４πでした。
大変失礼いたしました。教えていただけると幸いです。
No.51637 - 2018/07/05(Thu) 16:56:00
☆ Re: 図形について。 / ヨッシー
正しくは
　∫[x＝r/2〜r]π√(ｒ^2−ｘ^2)^2 dx
ですが、本問の本質ではないので、とりあえず置いておいて、
この式の中の
　π√(ｒ^2−ｘ^2)^2
とはなんですか？
No.51638 - 2018/07/05(Thu) 16:56:13
☆ Re: 図形について。 / コルム
球の断面積の円の面積です。なぜ、x=r/2〜rなのでしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.51639 - 2018/07/05(Thu) 18:01:34
☆ Re: 図形について。 / ヨッシー
ｘ＝０ の点はどこですか？
No.51640 - 2018/07/05(Thu) 18:16:52
☆ Re: 図形について。 / コルム
半球の底面ですか？教えていただけると幸いなのですが。
大変恐縮ですが。
No.51642 - 2018/07/05(Thu) 19:48:04
☆ Re: 図形について。 / ヨッシー
ｘがきちんと定義できていないと、
　π√(ｒ^2−ｘ^2)^2
なんて式は出てこないはずなんですが。

π√(ｒ^2−ｘ^2)^2 が断面積というところは合っています。
では、ｘ＝０ のとき断面積はいくつで、それはどこの断面ですか？
No.51643 - 2018/07/05(Thu) 20:19:15
☆ Re: 図形について。 / コルム
x=0のとき断面積は、πr∧2で、半球の底面です。
あっていますでしょうか？xは、半球の底面から、断面積までの高さでしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.51645 - 2018/07/05(Thu) 21:58:31
☆ Re: 図形について。 / ヨッシー
「あっていますでしょうか？」じゃなくって、自分で定義したｘ軸で
計算した断面積なら疑いがないはずでしょう。

で、ここまで来たら、
>なぜ、x=r/2〜rなのでしょうか？
も自然と片付いているのではないですか？
そこまで考察した上で、書き込みされないと、無駄な記事が増える一方です。
No.51647 - 2018/07/05(Thu) 23:25:14
☆ Re: 図形について。 / コルム
すみません。x=r/2〜rの件については、片付きました。
で、本題に戻りますが、二等辺三角形になるのは、どうしてでしょうか？r,rまでしかわかっていないのに。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.51650 - 2018/07/06(Fri) 07:48:25
☆ Re: 図形について。 / ヨッシー
そこで、No.51622 以降の話が活きてくるのですが、
1) 体積は断面積を積分すると求められる。
2) 直円錐と、少し傾いた円錐（ただし高さは同じ）のように、形が変わっても
　 断面積が全ての位置において等しければ体積は等しい。
イメージしにくければ、
2') 積分範囲のどこにおいても、断面積が等しい２つの立体の体積は等しい
と理解しても良いです。
ここまでは良いですか？

半径ｒの球の中心を０とし、半径方向にｘ軸を取ると、
3) ｘ座標ｘにおける球の断面積は π√(ｒ^2−ｘ^2)^2 である。
4) 変形すると、断面積は π(ｒ^2−ｘ^2) である。
5) これは πｒ^2−πｘ^2 なので、半径ｒの円から、半径ｘの円をくり抜いたドーナツ型の面積と等しい。
6) こういうドーナツ型の断面を持つ図形は、下の図の右側のような、円柱から円錐をくり抜いた立体である。
7) この立体をＸと呼ぶことにすると、半球と立体Ｘは断面積がどの位置においても等しいので、体積は等しい。
8) 立体Ｘを高さ半分のところで切った上の方と、立体Ｗの体積は等しい。
9) 立体Ｘを真横から見ると、円柱と円錐と底面で挟まれた部分がｒ，ｒ，√2ｒ の直角二等辺三角形になっている。
10) 実はこの部分が、直角二等辺三角形になっていることは、立体Ｗの体積を求めることと、なんの関係もない。

どうですか？
No.51653 - 2018/07/06(Fri) 09:45:15
☆ Re: 図形について。 / コルム
2),8),9),10)がわかりません。もう少し詳しく教えていただけると幸いなのですが。大変恐縮ですが。本当にすみません。
No.51656 - 2018/07/06(Fri) 16:51:16
☆ Re: 図形について。 / コルム
ありがとうございました。
No.51676 - 2018/07/09(Mon) 07:05:36