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記事No.51608に関するスレッドです
★ 質問です。 / 山田
(1)は部分積分でできましたが、
(2)は数学的帰納法で特とわかったのですが、n=k+1の時につまってしまうので教えてくれるとありがたいです。別解が考えられたら教えてくれると嬉しいです。
(3)は単にとけませんでした
No.51605 - 2018/07/04(Wed) 23:45:53
☆ Re: 質問です。 / IT
できたところまで書き込まれると　早く回答が得られやすいと思います。
No.51607 - 2018/07/05(Thu) 00:02:10
☆ Re: 質問です。 / 山田
ここまでできました。
No.51608 - 2018/07/05(Thu) 00:06:30
☆ Re: 質問です。 / IT
（２）　
その解答でも合っていると思いますが、少しまわりみちですね。

いま（１）の結果より、　I[k+1]=(k+1)I[k]-{(loga)^(k+1)}/a
帰納法の仮定☆より　　　　　　＜(k+1)k!-{(loga)^(k+1)}/a＜(k+1)!
よって　n=k+1 のとき成立。
・・・・

で良いのでは？
No.51609 - 2018/07/05(Thu) 00:41:13
☆ Re: 質問です。 / 山田
余計な(loga)^k+1/aはあっても大丈夫なんですか？よく分からないんですが。
(3)も(2)と同様に帰納法でやると思うんですけどね
No.51611 - 2018/07/05(Thu) 00:52:51
☆ Re: 質問です。 / IT
大丈夫です。不等式を確認してください。
　　

（３）の略解です。
No.51613 - 2018/07/05(Thu) 01:18:01
☆ Re: 質問です。 / ast
> 余計な(loga)^k+1/aはあっても大丈夫なんですか？

確認すべきことは, (a は 1 より大きいと仮定しているので) log(a) は (したがって (log(a))^(k+1)/a も) 正の数となることです.
# (k+1)! から正の数を引いたものは (k+1)! よりも小さいので,
# (k+1)! より小さいもので上から抑えられる I_[k+1] が (k+1)! で抑えられないはずがない.
No.51614 - 2018/07/05(Thu) 01:19:54
☆ Re: 質問です。 / IT
51613　の画像では、途中の式で積分範囲を略してますが定積分です。
No.51615 - 2018/07/05(Thu) 01:21:33
☆ Re: 質問です。 / 山田
そうやってやればよかったんですね。ありがとうございます。無理やり対数微分法使って放り込んでやって、帰納法で考え出ました。(2)を使うことを考えればわかりますね。(2)なんですけど、
画像のような階差数列を作って解くことってできますか？
No.51616 - 2018/07/05(Thu) 01:22:39
☆ Re: 質問です。 / 山田
astさんへ
証明が不十分ということですか？
数学が未熟なもので。
No.51617 - 2018/07/05(Thu) 01:27:48
☆ Re: 質問です。 / IT
> (2)なんですけど、画像のような階差数列を作って解くことってできますか？

出来るできない以前の問題です。
１行目で証明がほとんどできているのに　そうする意図が分かりません。
No.51618 - 2018/07/05(Thu) 01:30:18
☆ Re: 質問です。 / 山田
ITさんへ
(2)の答えとは関係なしに一般に
この漸化式は解けないかと聞きたかったんです。
No.51619 - 2018/07/05(Thu) 01:36:22
☆ Re: 質問です。 / ast
> 証明が不十分ということですか？
いえ, IT さんが No.51609 で仰る通り ((k+1)! − {(loga)^(k+1)}/a < (k+1)! は) 自明だという話です.
No.51620 - 2018/07/05(Thu) 02:29:31
☆ Re: 質問です。 / IT
> ITさんへ
> (2)の答えとは関係なしに一般に
> この漸化式は解けないかと聞きたかったんです。

失礼しました。それは、それで面白い有効な解き方ですね。
（漸化式は、既にご自分で解いておられますよね）
No.51621 - 2018/07/05(Thu) 07:29:38