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記事No.51726に関するスレッドです
★
剛体の運動
/ とおます
引用
この問題を教えてください。お願いいたします。
No.51726 - 2018/07/11(Wed) 17:36:39
☆
Re: 剛体の運動
/ X
引用
(a)
錘2の運動方程式は
3Mα=3Mg-T[2] (A)
又、条件から錘1には鉛直上向きに
αの加速度が働くので、錘1の
運動方程式は
Mα=T[1]-Mg (B)
(b)
条件から定滑車の回転軸に関する
慣性モーメントをIとすると
I=∫[θ:0→2π]∫[r:0→a]{M/(πa^2)}(r^2)・rdrdθ
={M/(πa^2)}∫[θ:0→2π]∫[r:0→a]}(r^3)drdθ
=(Ma^2)/2 (C)
一方、θに関する運動方程式は
I(d^2θ/dt^2)=T[2]a-T[1]a (D)
注)
θの正の向きは錘2の加速度の向きと同じに
取っています。
(A)(B)より求める運動方程式は
{(Ma^2)/2}(d^2θ/dt^2)=T[2]a-T[1]a (E)
(c)
条件から
α=a(d^2θ/dt^2) (F)
一方、(A)(B)を用いて(R)からT[1],T[2]を消去すると
{(Ma^2)/2}(d^2θ/dt^2)=(3Mg-3Mα)a-(Mg+Mα)a
これより
a(d^2θ/dt^2)=4g-8α
更に(F)を代入して、整理をすると
d^2θ/dt^2=4g/(9a)
t=0のときにθ=dθ/dt=0であることに
注意すると
θ={2g/(9a)}t^2 (G)
∴x=(2g/9)t^2 (H)
(d)
問題の全力学的エネルギーをUとすると
(c)のxなどにより
U=(1/2)M(dx/dt)^2+(1/2)・3M(dx/dt)^2+Mgx-3Mgx+(1/2)I(dθ/dt)^2
=2M(dx/dt)^2-2Mgx+(1/2)I(dθ/dt)^2
これに(C)(G)(H)を代入すると
U=2M((4g/9)t)^2-2Mg(2g/9)t^2+(1/2){(Ma^2)/2}{(4g/(9a))t}^2
=(32/81)M(gt)^2-(4M/9)(gt)^2+(4M/81)(gt)^2
=0=(一定)
∴問題の命題は成立します。
No.51758 - 2018/07/13(Fri) 21:25:31
