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No.52054 - 2018/07/22(Sun) 19:33:56
| ☆ Re: / del | | | (1)
ω=cos(2π/p)+i*sin(2π/p) とすると
(z[1],...,z[n])が(イ)を満たすので k=1,...,nに対し、z[k]=ω^m[k] とおける。
ただし、任意のkに対してm[k]は1≦m[k]≦p-1を満たす整数。
このとき、(ロ)を満たすためのm[1],...,m[n]の必要十分条件は m[1]+...+m[n]がpの倍数であることである。
n=3のときは 3≦m[1]+m[2]+m[3]≦3p-3 より、
p≧3のときはm[1]+m[2]+m[3]=p,2p ならばよい。
m[1],m[2],m[3]の範囲に注意すれば、
m[1]+m[2]+m[3]=pなる(m[1],m[2],m[3])と
m[1]+m[2]+m[3]=2pなる(m[1],m[2],m[3])の個数は共に(p-1)(p-2)/2 なので、
a[3]=(p-1)(p-2) (これはp=2でも成立する。)
(2)
n≧4とし、(z[1],...,z[n])に対し自然数K≦nを
z[1]z[2]...z[k]=1 となる最小のkとすると条件(イ)よりK≠1,n-1である。
このような(z[1],...,z[K])の選び方は
z[1]は(p-1)通りの選び方があり、
z[k](k=2,...,K-1)はz[1]...z[k]≠1となるように(p-2)通りの選び方があり、
z[K]はz[1]...z[K]=1となるように1通りの選び方があるので、(z[1],...,z[K])の選び方は
(p-1)(p-2)^(K-2)通りである。
よってKが固定された状態における(ロ)を満たす(z[1],...,z[n])の個数は
K=nのとき、(p-1){(p-2)^(n-2)}
K=2,...,n-2のとき、(p-1){(p-2)^(K-2)}a[n-K] である。
以上より、n≧4の場合、
a[n]=(p-1)(p-2)^(n-2)+Σ[K=2:n-2](p-1){(p-2)^(K-2)}a[n-K]
したがって、n≧3の場合、
a[n+2]=(p-1)(p-2)^n+Σ[K=2:n](p-1){(p-2)^(K-2)}a[n+2-K]...?@
a[n+1]=(p-1)(p-2)^(n-1)+Σ[K=2:n-1](p-1){(p-2)^(K-2)}a[n+1-K]
=(p-1)(p-2)^(n-1)+Σ[K=3:n](p-1){(p-2)^(K-3)}a[n+2-K]...?A
?@-(p-2)*?Aより
a[n+2]-(p-2)a[n+1]=Σ[K=2:n](p-1){(p-2)^(K-2)}a[n+2-K]-Σ[K=3:n](p-1){(p-2)^(K-2)}a[n+2-K]
=(p-1)a[n]
よってa[n+2]=(p-2)a[n+1]+(p-1)a[n]
これはn≧3で考えていたがa[2]=p-1は容易に求めることができ、?Aからa[4]も求めることができるので上の漸化式がn=2でも成立することが確認できる。
(3)
ここまで来たら基本的な隣接3項間漸化式なので、
これを解くとa[n]=(1/p)*{(p-1)^n+(p-1)*(-1)^n}が求められる。
答案とするには説明が不足する箇所があるので補完をお願いします。
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No.52068 - 2018/07/23(Mon) 02:35:05 |
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