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記事No.52086に関するスレッドです
★ 最小値の問題 / RED
このような解答はよいのでしょうか
No.52086 - 2018/07/24(Tue) 00:05:02
☆ Re: 最小値の問題 / らすかる
k^2-1＜1のときに(k^2-1)(a+b)≧2√abが成り立たないような
a,bが存在する、ということを示していないので、
ダメだと思います。
No.52090 - 2018/07/24(Tue) 00:17:46
☆ Re: 最小値の問題 / RED
k^2-1＜1のときに(k^2-1)(a+b)≧2√abが成り立たないようなa,bが存在することを述べる際に具体的にどのようなことをすればよいのか教えていただけないでしょうか。
No.52092 - 2018/07/24(Tue) 00:28:30
☆ Re: 最小値の問題 / らすかる
例えば（途中から）
a＞0,b＞0なので、相加相乗平均により
a+b≧2√(ab) から a+b-2√(ab)≧0
よってk^2-1≧1すなわちk≧√2（∵k＞0）であれば
(右辺)^2-(左辺)^2=(k^2-1)(a+b)-2√(ab)≧(a+b)-2√(ab)≧0から
(右辺)≧(左辺)（∵両辺は正）となり、与式は常に成り立つ。

k＜√2のとき、a=bとすると
(左辺)-(右辺)
=√a+√b-k√(a+b)
=2√a-k√(2a)
=2√a-(√2)k√a
=(√2)(√2-k)√a
＞0となり与式は成り立たない。
従って条件を満たすkの最小値は√2。
No.52093 - 2018/07/24(Tue) 01:21:54
☆ Re: 最小値の問題 / RED
大変よくわかりました。本当にありがとうございました。
また質問させていただくことがあるかと思いますがその際はよろしくお願いいたします。
No.52094 - 2018/07/24(Tue) 02:00:22
☆ Re: 最小値の問題 / らすかる
後になって気づきましたが、
少なくともk≧√2でなければならないことを具体値を使って先に示した方が
解答が簡潔になりますね。

a=b=1のとき(右辺)-(左辺)=(√2)k-2なので、
(右辺)≧(左辺)が常に成り立つためには
少なくとも(√2)k-2≧0すなわちk≧√2でなければならない。
k=√2のとき、
(右辺)^2-(左辺)^2=2(a+b)-(a+b+2√ab)=a+b-2√ab=(√a-√b)^2≧0
と(右辺)＞0,(左辺)＞0から(右辺)≧(左辺)が常に成り立つ。
従ってkの最小値は√2。
No.52095 - 2018/07/24(Tue) 02:58:53