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記事No.52129に関するスレッドです
★
数2
/ カズ
引用
169と170番を教えてください！
No.52129 - 2018/07/24(Tue) 21:57:48
☆
Re: 数2
/ ヨッシー
引用
まず、170 から
直線ｌの式は
ｙ＝ｍｘ−ｍ＋４
と書けます。
ｘ^2＝ｍｘ−ｍ＋４
の解をα、β（α＜β）とすると、
Ｓ＝(β−α)^3/6
解と係数の関係より
α＋β＝ｍ，αβ＝ｍ−４
(β−α)^2＝(α＋β)^2−４αβ＝ｍ^2−４ｍ＋１６
よって、
Ｓ＝(ｍ^2−４ｍ＋１６)^(3/2)／６
ｍで微分して、
dS/dm＝(1/2)(ｍ−２)√(ｍ^2−４ｍ＋１６)
よって、Ｓはｍ＜２ で単調減少、２＜ｍ で単調増加し、ｍ＝２ で極小となり、
Ｓ0＝4√3
Ｓ＝８Ｓ0＝32√3 となるには、
(ｍ^2−４ｍ＋１６)^(3/2)／６＝32√3
(ｍ^2−４ｍ＋１６)^(3/2)＝192√3＝(4√3)^3
ｍ^2−４ｍ＋１６＝48
ｍ^2−４ｍ−３２＝０
ｍ1＝−４，ｍ2＝８
No.52148 - 2018/07/25(Wed) 14:14:31
☆
Re: 数2
/ X
引用
169
問題の曲線の方程式を(A)とします。
(A)とx軸との交点のx座標について
2x^3+3x^2-12x=0
x(2x^2+3x-12)=0
∴x=0,(-3±√105)/4
ここで
(-3-√105)/4＜0＜(-3+√105)/4 (P)
であることと、
(A)のグラフがN字型 (Q)
になることに注意します。
さて(A)と問題の放物線の交点のx座標について
2x^3+3x^2-12x=ax^2
これより
x{2x^2-(a-3)x-12}=0
∴
x=0
又は
2x^2-(a-3)x-12=0 (B)
(B)の解をα、β(α＜β)とすると
解と係数の関係から
α+β=(a-3)/2 (C)
αβ=-6 (D)
であり(C)から
α＜0＜β (E)
ここでa＞0より問題の放物線は
下に凸となっていますので、
(P)(Q)(E)を考慮に入れると
面積に関する条件から
∫[α→0]{2x^3+3x^2-12x-ax^2}dx
=∫[0→β]{ax^2-(2x^3+3x^2-12x)}dx
これより
∫[α→β]{2x^3-(a-3)x^2-12x}dx=0
左辺の定積分を計算すると
(1/2)(β^4-α^4)-(1/3)(a-3)(β^3-α^3)-6(β^2-α^2)=0
(1/2)(β-α)(β+α)(β^2+α^2)-(1/3)(a-3)(β-α)(β^2+βα+α^2)
-6(β-α)(β+α)=0
(β-α){(1/2)(β+α)(β^2+α^2)-(1/3)(a-3)(β^2+βα+α^2)-6(β+α)}=0
ここで(E)よりβ-α≠0
∴(1/2)(β+α)(β^2+α^2)-(1/3)(a-3)(β^2+βα+α^2)-6(β+α)=0
(1/2)(α+β){(α+β)^2-2αβ}-(1/3)(a-3){(α+β)^2-αβ}-6(α+β)=0
これに(C)(D)を代入すると
(1/4)(a-3){(1/4)(a-3)^2+12}-(1/3)(a-3){(1/4)(a-3)^2+6}-3(a-3)=0
これより
(a-3){(1/4){(1/4)(a-3)^2+12}-(1/3){(1/4)(a-3)^2+6}-3}=0
(a-3){3{(1/4)(a-3)^2+12}-4{(1/4)(a-3)^2+6}-36}=0
(a-3){-(1/4)(a-3)^2-24}=0
(a-3){(a-3)^2+96}=0
∴a＞0より
a=3
となります。
No.52160 - 2018/07/25(Wed) 18:08:21
