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記事No.52254に関するスレッドです
★ 数列、円 / メタファイズ
この問題の(2)が分かりません
答えはrn＝{a/2+(n-1)a}^2
となるそうですが、nでしか表わせられないので、解説お願いします
No.52254 - 2018/07/27(Fri) 17:32:38
☆ Re: 数列、円 / X
C[n]はx軸に接する第一象限に存在する円
ですので
中心の座標は(x[n],r[n])
と置くことができます。
このとき、円C、C[n-1]の中心との距離について
(x[n])^2+(1-r[n])^2=(1+r[n])^2 (A)
(x[n]-x[n-1])^2+(r[n]-r[n-1])^2=(r[n]+r[n-1])^2 (B)
(A)(B)を{r[n]},{x[n]}の連立漸化式として
解きます。
(A)より
(x[n])^2=4r[n]
∴r[n]=(1/4)(x[n])^2 (A)'
一方(B)より
(x[n]-x[n-1])^2=4r[n]r[n-1] (B)'
(A)'を(B)'に適用して
(x[n]-x[n-1])^2=(1/4)(x[n]x[n-1])^2
ここで条件から
x[n]＜x[n-1]
∴x[n]-x[n-1]=-(1/2)(x[n]x[n-1])
これより
1/x[n]-1/x[n-1]=1/2
となるので
1/x[n]=1/x[1]+(1/2)(n-1)
ここで
x[1]=a
∴1/x[n]=1/a+(1/2)(n-1)
x[n]=1/{1/a+(1/2)(n-1)}
これを(A)'に代入して
r[n]=1/{2/a+(n-1)}^2
=(a^2)/{2+(n-1)a}^2
となります。

＞＞答えはrn＝{a/2+(n-1)a}^2
タイプミスはありませんか？
条件から、r[n]はnに関して単調減少に
なりますので、明らかに変です。
No.52257 - 2018/07/27(Fri) 18:03:03
☆ Re: 数列、円 / メタファイズ
よくわかりました。
x[1]＝1としていたために間違えてしまいました。
タイプとともに理解していきます笑。
No.52260 - 2018/07/27(Fri) 19:26:41