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記事No.52259に関するスレッドです
★ 数3 極限 数列 / KK
解き方教えてください。
No.52259 - 2018/07/27(Fri) 19:11:00
☆ Re: 数3 極限 数列 / X
OB[n]=b[n]
とします。
(1)
条件から
b[n+1]=a[n]cosθ (A)
一方、条件から
△OA[1]B[1]∽△OA[n+1]B[n+1]
∴相似比について
1:a[n+1]=p:b[n+1] (B)
(B)より
a[n+1]=(1/p)b[n+1] (B)'
これに(A)を代入して
a[n+1]=(1/p)a[n]cosθ

(2)
(1)の結果より
a[n]=a[1]{(1/p)cosθ}^(n-1)
={(1/p)cosθ}^(n-1)
これと(B)'により
b[n]=p{(1/p)cosθ}^(n-1)
∴△OA[n]B[n+1]に注目して
A[n]B[n+1]=a[n]sinθ
=sinθ{(1/p)cosθ}^(n-1)
B[n]B[n+1]=b[n]-b[n+1]
=p{(1/p)cosθ}^(n-1)-p{(1/p)cosθ}^n
以上から求める面積は
(1/2)A[n]B[n+1]・B[n]B[n+1]
=(1/2)psinθ{(1/p)cosθ}^(2n-2)-(1/2)sinθcosθ{(1/p)cosθ}^(2n-2)
=(1/2)sinθ(p-cosθ){(1/p)cosθ}^(2n-2)

(3)
(2)の結果から
T(θ)=Σ[n=0〜∞](1/2)sinθ(p-cosθ){{(1/p)cosθ}^2}^(n-1)
∴p＞1に注意すると
T(θ)=(1/2)sinθ(p-cosθ)/{1-{(1/p)cosθ}^2}
これを
lim[θ→+0](1/θ)T(θ)=3
に代入すると
lim[θ→+0]{(1/θ)(1/2)sinθ(p-cosθ)/{1-{(1/p)cosθ}^2}}=3
これより
(1/2)(p-1)/{1-(1/p)^2}=3
(1/2)(p^2)(p-1)/(p^2-1)=3
(1/2)(p^2)/(p+1)=3
p^2=6(p+1)
p^2-6p-6=0
∴p＞1により
p=3+√15
No.52269 - 2018/07/27(Fri) 21:26:09