教えてください。お願いします。
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No.52285 - 2018/07/28(Sat) 09:07:57
| ☆ Re: ベクトル / X | | | (1)
前半)
条件から
↑OK=↑OB+↑BK
=↑OB+(1/3)↑BD
=↑b+(1/3)↑a (A)
↑OL=↑OC+↑CL
=↑OC+(2/3)↑CE
=↑c+(2/3)↑a (B)
後半)
(A)(B)を条件である
↑OK・↑OL=8/9
に代入すると
{↑b+(1/3)↑a}・{↑c+(2/3)↑a}=8/9 (C)
これより
ここで条件から
↑a⊥↑b,↑c⊥↑a,↑b⊥↑c
∴
↑a・↑b=↑c・↑a=↑b・↑c=0 (D)
よって(C)の左辺を展開すると
(2/9)|↑a|^2=8/9
∴|↑OA|=|↑a|=2
(2)
まず点Nは点O,K,Lを通る平面上の点ですので
↑ON=x↑OK+y↑OL
(x,yは実数)
と置くことができます。
これに(A)(B)を代入すると
↑ON=x{↑b+(1/3)↑a}+y{↑c+(2/3)↑a}
=(x/3+2y/3)↑a+x↑b+y↑c (C)
次に点Nは線分GM上の点ですので
↑ON=(1-z)↑OG+z↑OM
(但し0≦z≦1 (P))
と置くことができます。
∴これより
↑ON=(1-z)(↑OB+↑BG)+z(1/3)↑OA
↑ON=(1-z)(↑b+↑c)+z(1/3)↑a
↑ON=(z/3)↑a+(1-z)↑b+(1-z)↑c (D)
ここで条件から
↑a⊥↑b,↑c⊥↑a,↑b⊥↑c
かつ
↑a≠↑0,↑b≠↑0,↑c≠↑0
∴(C)(D)の係数を比較することができ
x/3+2y/3=z/3 (E)
x=1-z (F)
y=1-z (G)
(E)(F)(G)をx,y,zの連立方程式として解きます。
(F)(G)を(E)に代入して
1-z=z/3
z=3/4
これを(D)に代入して
↑ON=(1/4)↑a+(1/4)↑b+(1/4)↑c
となります。
(3)
前半)
条件から
|↑HP|^2=|↑OP-↑OH|^2
=|↑OP|^2-2↑OH・↑OP+|↑OH|^2 (H)
ここで
|↑OH|^2=|(↑OK+↑OL)/2|^2
=|(↑a+↑b+↑c)/2|^2 (∵)(A)(B)を代入
={|↑a|^2+|↑b|^2+|↑c|^2}/4 (∵)展開して(D)を代入
=(OA^2+OB^2+OC^2)/4
=7/4 (I)
又
↑KP・↑LP=-1/12
より
(↑OP-↑OK)・(↑OP-↑OL)=-1/12
|↑OP|^2-(↑OK+↑OL)・↑OP+↑OK・↑OL=-1/12
|↑OP|^2-2↑OH・↑OP+↑OK・↑OL=-1/12
|↑OP|^2-2↑OH・↑OP=-1/12-↑OK・↑OL (J)
で
↑OK・↑OL={↑b+(1/3)↑a}・{↑c+(2/3)↑a} (∵)(A)(B)を代入
=(2/9)|↑a|^2 (∵)展開して(D)を代入
=(2/9)|↑OA|^2
=8/9 (∵) (1)の後半の結果を代入
∴(J)より
|↑OP|^2-2↑OH・↑OP=-35/36 (J)'
(I)(J)'を(H)に代入して
|↑HP|^2=-35/36+7/4
=7/9
∴|↑HP|=(1/3)√7(K)
後半)
条件から
↑OP=k↑OH (L)
(0＜k＜1)
と置くことができます。
ここで(K)より
|↑OP-↑OH|=(1/3)√7
(L)を代入して
|(k-1)↑OH|=(1/3)√7
(1-k)|↑OH|=(1/3)√7
更に(I)を用いると
(1-k)(1/2)√7=(1/3)√7
∴k=1/3
よって(L)により
↑OP=(1/3)↑OH
=(1/6)(↑OK+↑OL)
=(1/6)(↑a+↑b+↑c) (J)' (∵)(A)(B)を代入
となるので
|↑NP|^2=|↑OP-↑ON|^2
=(1/12)|↑a+↑b+↑c|^2 (∵)(J)'と(2)の結果を代入
=(1/12)|↑a+↑b+↑c|^2
={|↑a|^2+|↑b|^2+|↑c|^2}/12 (∵)展開して(D)を代入
=(OA^2+OB^2+OC^2)/12
=7/12
∴|↑NP|=(1/6)√21
となります。
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No.52294 - 2018/07/28(Sat) 13:51:19 |
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