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記事No.52295に関するスレッドです
★ 数3 複素数 / 受験生
解き方教えてください。
No.52295 - 2018/07/28(Sat) 14:40:49
☆ Re: 数3 複素数 / X
(1)
条件式である
α^2-αβ+β^2=0
の両辺をα^2で割って
(β/α)^2-β/α+1=0
β/αの虚部が負であることに注意して
これをβ/αについての二次方程式と
して解き
β/α=(1-i√3)/2

(2)
(1)の結果から
β/(2α)=(1/2){cos(π/3)-isin(π/3)}
∴∠AOB=π/3 (A)
又、複素平面上で
↑ABに対応する複素数をδ
とすると
δ=β-2α
で
δ/(-2α)=1-β/(2α)
=1-(1-i√3)/4
=(3+i√3)/4
={(√3)/2}(√3+i)/2
={(√3)/2}{cos(π/6)+isin(π/6)}
∴∠OAB=π/6 (B)
(A)(B)より
∠OBA=π-∠OAB-∠AOB
=π/2

(3)
(2)の結果と円周角により、△OABの外接円は
辺OAの中点を中心、OA/2=|α|/2を半径
としていることが分かります。
∴その方程式は
|z-α/2|=|α|/2
これがγ=-1/(2α)に対応する点Cを通るので
|-1/(2α)-α/2|=|α|/2 (C)
条件より
|α|=1 (D)
ゆえ(C)は
|(1/α+α)/2|=1/2 (C)'
ここで(D)より
|α|^2=1
∴例えばzの共役複素数を\zと書くことにすると
α\α=1
∴\α=1/α
これを(C)'に代入して
|(\α+α)/2|=1/2
これはαの実部の絶対値が1/2であることを
示しているので(D)により
α=±1/2±i(√3)/2
(複号任意)
となります。
No.52302 - 2018/07/28(Sat) 17:08:26