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記事No.52323に関するスレッドです
★ 数3 数列 / Z
解説お願いします。
No.52322 - 2018/07/28(Sat) 23:40:05
☆ Re: 数3 数列 / Z
⑴は解けたと思うんですが、⑵からどうしたらよいかわかりません。教えてください。
No.52323 - 2018/07/28(Sat) 23:41:23
☆ Re: 数3 数列 / あ
b[k+1]=b[k]+2pk+3
のをk=1からn-1まで足しあげます。

n-1 n-1
Σb[k+1]=Σ(b[k]+2pk+3)
k=1 k=1
ということです。
No.52324 - 2018/07/28(Sat) 23:56:44
☆ Re: 数3 数列 / RYO
【解答例】
(1)
　a[n]
＝S[n]-S[n-1]
＝n^2-(n-1)^2
＝2n-1　(n≧2)
上式は、n＝1のときも成立する。

以上より、
　a[n]＝2n-1　(n≧1)　…(答)

(2)
b[n+1]-b[n]＝2pn+3より、{2pn+3}は{b[n]}の階差数列である。
よって、
　b[n]
＝b[1]+Σ[k＝1〜n-1](2pk+3)
＝3+2p・(1/2)n(n-1)+3(n-1)
＝pn^2+(-p+3)n　(n≧2)
上式は、n=1のときも成立する。

以上より、
　b[n]＝pn^2+(-p+3)n　(n≧1)　…(答)

(3)
　T[n]
＝(1/n^3){Σ[k＝1〜n](b[k])}
＝(1/n^3)[p{Σ[k＝1〜n](k^2)}+(-p+3){Σ[k＝1〜n](k)}]
＝(1/n^3){p・(1/6)n(n+1)(2n+1)+(-p+3)・(1/2)n(n+1)}
＝(p/6)(1+1/n)(2+1/n)+(1/2)(-p+3)(1/n+1/n^2)

n→∞とすると、
　lim[n→∞](T[n])
＝(p/6)・1・2+0
＝p/3

よって、
　p/3＝-1
⇔p＝-3　…(答)

　U[n]
＝Σ[k＝3〜n]{1/(a[k]-k)b[k]}
＝Σ[k＝3〜n]{1/(k-1)(-3k^2+6k)}
＝Σ[k＝3〜n][(-1/3){1/(k-2)(k-1)k}]
＝(-1/3)(1/2){1/2-1/(n-1)n}　(※)
＝-1/12+1/6(n-1)n

n→∞とすると、
　lim[n→∞](U[n])
＝-1/12+0
＝-1/12　…(答)

(※)
　Σ[k＝3〜n]{1/(k-2)(k-1)k}
＝Σ[k＝3〜n][{1/(k-1)}{1/k(k-2)}]
＝Σ[k＝3〜n](1/2){1/(k-2)-1/k}
＝(1/2)Σ[k＝3〜n]{1/(k-2)(k-1)-1/(k-1)k}
＝(1/2)[(1/1・2-1/2・3)+(1/2・3-1/3・4)+(1/3・4-1/4・5)+…+{1/(n-3)(n-2)-1/(n-2)(n-1)}+{1/(n-2)(n-1)-1/(n-1)n}]
＝(1/2){1/2-1/(n-1)n}


【(1)の議論に関する注意】
　答え自体は正しいのですが、具体的な項に関する実験から一般項を「予想」しているだけ（帰納的な推論に過ぎない）ですので、数学的に正当な議論とは認められません。
　センター試験のように、解答を導き出す過程が評価の対象とならない試験であれば、Zさんの解法を用いても取り立てて問題はないのでしょうが、記述式の試験においては間違いなく減点の対象になってしまいます。採点基準によっては、まったく得点が与えられないという場合もあるでしょう。
　解法の道筋を立てる（突破口を開く）目的で実験を行うのは大変結構なこと（というよりむしろ、算数・数学と向き合う上での基本姿勢の一つ）ですが、具体的な実験結果から一般的な法則を予想した場合には、それをそのまま解答とするのではなく、必ず演繹的な議論を後から補完する習慣をつけておくことをお勧めします。
No.52327 - 2018/07/29(Sun) 01:29:27
☆ Re: 数3 数列 / IT
RYO さん
>【解答例】(1)
> a[n]＝S[n]-S[n-1]
でn=1のとき S[n-1]=S[0] は定義されてないので、厳密には別に考える必要があるのではないでしょうか？

No.52330 - 2018/07/29(Sun) 07:58:48
☆ Re: 数3 数列 / RYO
>ITさん
ご指摘ありがとうございます。
元の投稿に修正を加えておきました。

>Zさん
私の投稿した解答例の一部に、議論が厳密でない箇所がありました。
訂正しておきましたので、ご確認をお願いいたします。
No.52345 - 2018/07/29(Sun) 12:29:18