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記事No.52437に関するスレッドです
★ 可測関数　、確率変数 / らむ
可測関数、確率変数の証明の質問です。
画像の⇔を証明したいです。
参考書には線以降が記載されてたのですが、なぜ直ちにわかるかわかりません。

よろしくお願いします。
No.52423 - 2018/07/30(Mon) 23:12:33
☆ Re: 可測関数　、確率変数 / あ
全てのaに対して、{ω|X(ω)≦a}が可測であること(Xが確率変数であること)と{ω|X(ω)<a}が可測であることが同値、なんですか？

それとも{ω|X(ω)≦a}が全てのaに対して成り立つことと、{ω|X(ω)<a}が全てのaに対して成り立つことが同値なんですか？

後者なら本当に自明だと思いますが。
No.52427 - 2018/07/31(Tue) 00:09:54
☆ Re: 可測関数　、確率変数 / あ
「可測であること」が抜けてますね
No.52428 - 2018/07/31(Tue) 00:10:45
☆ Re: 可測関数　、確率変数 / らむ
ご回答ありがとうございまます。
私のミスでした。申し訳ございません。
証明は⇒のみでした。

質問に戻るのですが、
なぜ　∪[n=1→∞]X^(-1)(-∞、a-1/n]∈F　といえるのかわかりません。

自分の予想では条件から、X^(-1)(-∞、a-1/n]∈Fがいえて、σ加法族の性質より∪[n=1→∞]X^(-1)(-∞、a-1/n]∈Fがいえると思っています...
No.52431 - 2018/07/31(Tue) 00:59:46
☆ Re: 可測関数　、確率変数 / あ
ということは、もう一度確認しますが

「{ω|X(ω)≦a}∈Fが全てのaに対して成り立つ」と「{ω|X(ω)<a}∈Fが全てのaに対して成り立つ」が同値

ではなく

全てのaに対して、「{ω|X(ω)≦a}∈F」と「{ω|X(ω)<a}∈F」同値

ということを証明したいのですね？
No.52432 - 2018/07/31(Tue) 01:09:32
☆ Re: 可測関数　、確率変数 / らむ
間違いありません。
No.52433 - 2018/07/31(Tue) 01:17:36
☆ Re: 可測関数　、確率変数 / あ
差し支えなければ、使っている参考書のそのページの画像をそのまま見せてもらえませんか
No.52435 - 2018/07/31(Tue) 01:26:33
☆ Re: 可測関数　、確率変数 / tyu
1枚目、2枚目と続いています。
私が初めに記載していたのは２枚目の上になります。

よろしくお願いします。
No.52437 - 2018/07/31(Tue) 01:57:51
☆ Re: 可測関数　、確率変数 / あ
やはりでしたか。

というと、私が先に提示した

「{ω|X(ω)≦a}∈Fが全てのaに対して成り立つ」と「{ω|X(ω)<a}∈Fが全てのaに対して成り立つ」が同値

と

全てのaに対して、「{ω|X(ω)≦a}∈F」と「{ω|X(ω)<a}∈F」が同値

の違いを把握することが重要かと思われます。



証明については、全てのaに対してX^-1((-∞,a])が可測ですから、特にaをa-1/nとしても可測です。
したがってσ加法族の性質から従うことになります。

{ω|X(ω)≦a}∈Fと{ω|X(ω)<a}∈Fの2つのaは同じものと捉えては危険ということです。
No.52439 - 2018/07/31(Tue) 02:05:08
☆ Re: 可測関数　、確率変数 / らむ
ご回答ありがとうございます。
同様にすれば←も示せるのでしょうか。

全てのaに対してX^-1((-∞,a))が可測ですから、aをa+1/nとしても可測なので…

という感じで。

さらに、なぜ、aをa-1/nにしても可測なのかご教授してほしいです。
No.52450 - 2018/07/31(Tue) 16:51:58
☆ Re: 可測関数　、確率変数 / あ
反対は(-∞,a]=∩(-∞,a+1/n)によります。


その感じだと、論理的な部分が理解できていないのだと思います(測度論とか関係なしの数学の根本の部分です)。

もう少し丁寧に書くことにしましょう。
今示したいのは任意のaに対してX^-1(-∞,a)が可測であることです。
したがってaを1つ任意に「固定して」X^-1(-∞,a)が可測であることを示しましょう。
これを示すにはX^-1(-∞,a-1/n]が任意のnに対して可測であることを示せば十分です。
ところが仮定より任意のbに対してX^-1(-∞,b]は可測なのでした。
特にb=a-1/nとしても可測ですよね？


私の書き込みNo.52439の前半部分を特によく読まれてください。
No.52452 - 2018/07/31(Tue) 18:01:55
☆ Re: 可測関数　、確率変数 / らむ
ご回答ありがとうございます。
非常によく理解できました。
質問が多くなってしまいましたが、毎回回答していただきありがとうございました。
No.52455 - 2018/07/31(Tue) 18:33:40