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記事No.52513に関するスレッドです
★ コーシー・シュワルツの不等式 / ミケランジェロ
(1)(a^2+b^2+c^2)(x^2+b^2+c^2)≧(ax+by+cz)を示せ
(2)x+y+z=1のとき、x^2+y^2+z^2の最小値を求めよ
（2）の解答でa=b=c=1としたのはなぜでしょうか。私の理解力が乏しく、しばらく考えたのですがよくわかりませんでした。ご教授願います。
No.52513 - 2018/08/01(Wed) 21:29:38
☆ Re: コーシー・シュワルツの不等式 / X
(1)の結果に
x+y+z=1
を使うためです。

a=b=c=1
のとき
((1)の不等式の右辺)=(x+y+z)^2
ですので
x+y+z=1
であることがそのまま使えます。

但し、重要なのは
a=b=c
とすることであって、これを
必ずしも
=1
とする必要はありません。
(0でない実数であればどんな値でもよい。)

=1
としたのは単に計算を簡単にするためです。
No.52515 - 2018/08/01(Wed) 22:07:50
☆ Re: コーシー・シュワルツの不等式 / X
更に補足。

文脈を見る限り、ミケランジェロさんは
数学?U以降はこれから学習することに
なると思いますが、実はこの
コーシー＝シュワルツの不等式は
その中のベクトルの内積の項目
において重要な不等式です。
(但し、対応する不等式に
コーシー＝シュワルツの不等式
とは書かれていないかもしれませんが。)

今は不等式をそのまま鵜呑みにせざるを
得ないかもしれませんが、その時に
この不等式の意味を知れば、この問題の
理解は容易になると思います。
No.52516 - 2018/08/01(Wed) 22:18:08
☆ Re: コーシー・シュワルツの不等式 / ミケランジェロ
親切な解説ありがとうございます！a=b=c=1とする理由はわかりました！しかし、a=b=c=1でない場合については考えなくてもよいのでしょうか。
No.52517 - 2018/08/01(Wed) 22:25:25
☆ Re: コーシー・シュワルツの不等式 / ミケランジェロ
すみません「a=b=c=1でない場合」ではなく、「a=b=cでない場合」です。
No.52519 - 2018/08/01(Wed) 22:39:03
☆ Re: コーシー・シュワルツの不等式 / X
この問題を解くのに必要なのは
x^2+y^2+z^2≧(定数) (A)
の形の不等式です。
ですので
a=b=c
のときに(A)の形の不等式が得られれば
他の場合を考える必要はありません。
No.52538 - 2018/08/02(Thu) 17:30:56