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記事No.5257に関するスレッドです
★ 立体 / モモ
新小６です。
立体の体積、表面積についてお聞きします。
回転体の問題で、ドーナツ型の体積、表面積の求め方を教えてください。
よろしくお願いします。
No.5246 - 2009/02/17(Tue) 08:58:52
☆ Re: 立体 / ヨッシー
ドーナツ型とは、こういう形でしょうか？


この形は、太い円柱から、細い円柱をくりぬいたものなので、
体積は　太い円柱の体積−細い円柱の体積
表面積は、
　底面(上と下)は、大きい円から、小さい円を抜いたものなので、
　(大きい円の面積−小さい円の面積)×２
　外側の側面は　大きい円周×高さ
　内側の側面は、小さい円周×高さ
で、それぞれ求められます。
最後に、底面積、外側の側面積、内側の側面積を足せば完了です。
No.5249 - 2009/02/17(Tue) 11:02:47
☆ Re: 立体 / モモ
ドーナツ型ですが、
?@対角線の長さが10cmの正方形を

　　　　　◇｜　←直線を中心に１回転させたもの

?A直径10cmの円を
　　　　　
　　　　　○｜　←直線を中心に１回転させたもの

なので、?@は断面が角ばったドーナツ、?Aは普通の(?)ドーナツの形になると思うのですが。どのように求めたらよいのでしょうか？
No.5250 - 2009/02/17(Tue) 11:21:50
☆ Re: 立体 / ヨッシー
いずれも、中心軸から、どのくらい離れているかがわからないと
具体的には計算できませんが、方針だけ。
?@の方は、上半分だけ考えると、
円錐台（円錐から先端を含む小さい円錐を、
切り落とした立体)から逆さ向けの円錐台を切り落とした
形なので、それを元にして、計算することが出来ます。

?Aは、高校以上の数学が要求されます。
結果だけなら、こちらのパップス・ギュルダンの
定理により求めることが出来ます。
No.5251 - 2009/02/17(Tue) 12:20:49
☆ Re: 立体 / モモ
?@わかりました。ありがとうございました。
?Aですが、円の面積を求める方法(円を細かく等分して、並びかえて、たてが円の半径、横が円周の半分の長さの長方形にする）を応用して求められないものか、考え中です。
塾では、パップス・ギュルダンの定理は教えてもらっていないので。
もう少し、考えます。
No.5253 - 2009/02/17(Tue) 17:42:50
☆ Re: 立体 / angel
(2)は積分の考え方でいけます。
※円の面積を求める考え方にある、「細かく分けてまとめなおす」というのがまさに積分です。

図のように、回転体の帯状の部分を表・裏で見て足し合わせます。図中 s というのは、非常に微細な長さだと考えてください。
最終的には、円周×円の中心が回転して移動する距離 が表面積となります。
No.5257 - 2009/02/18(Wed) 00:46:24
☆ Re: 立体 / にょろ
新小６の子に積分の知識を要求するのは…
ただ円の面積で微妙にそれっぽいのやるからな〜

要するにたくさん分割してそれを大きい円柱から小さい円柱を引いた物だと考えて
（タマネギとか輪切りにすると殆ど円柱に見えるでしょ）
たくさん足すという考え方です。
これは高校生になってからやる物です。
興味を持って調べる場合
一次関数→二次関数→色々な関数→微分→積分
なのでちょっとハードル高いかなぁ^^;
一次関数は小学生でも理解できるんだろうけど…
No.5260 - 2009/02/18(Wed) 05:04:51
☆ Re: 立体 / ハリー
感覚的にわかればいいんじゃないかなと予想して・・・

(a)のようにドーナツを（限りなく細かく）分割し、
(b)は上から見た図ですが、
ヨッシーさんのＨＰのhttp://yosshy.sansu.org/circle_area.htmのように交互に配置すれば
(c)のような円柱になります。
No.5277 - 2009/02/19(Thu) 00:34:48
☆ Re: 立体 / angel
別に高校の数学を持ち出さなくとも、積分の感覚を掴むことはできると思いますよ。
※皆が皆できるかはともかく

(2)の体積についても、細長く短冊状に切った長方形毎で考え、最後に全部足し合わせると、回転体(ドーナツ)の体積 = 円の面積×円の中心が回転で移動する距離、となります。
詳しくは図をどうぞ。
No.5279 - 2009/02/19(Thu) 00:57:30
☆ Re: 立体 / モモ
皆さん、ありがとうございます。
私の考え方は、ハリー先生の考えと同じです。
ドーナツ型を等分に切って交互に組み立てて、円柱にしました。
円柱の高さは、ドーナツの外側の円周の半分と内側の円周の半分をたしたもので求めました。

　　　　○｜　←直径10cm、円の外側から軸までの長さ3cm

（体積）3943.84　立方センチメートル
(表面積)1577.536　平方センチメートル
になりました。

それから、angel先生の考えは、とても勉強になりました。積分は難しいですが、その方法でまた考えてみます。

今後ともよろしくお願いします。
No.5282 - 2009/02/19(Thu) 17:43:31