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記事No.52665に関するスレッドです
★ 中点の軌跡 / さくら
O(0 0)
A(2 4)
x^2+y^2=64
Pはこの円周上の点である。
PAを通る弦をPQとする
Pが円周上を動くとき、弦PQの中点をMとしてMの軌跡の方程式を求めよ

【解答】
PQは点Aを通るのでa(x-2)+b(y-2)=0 (a^2+b^2ノット＝0)
OMはbx-ay=0

2式をみたすa　bが存在するためのx y の条件を考える〜〜〜

【質問1】
2式の求め方がわかりません。どのような道筋であのような式がでるのでしょうか？　一次式の基本型はax+by+c=0か　y=ax+cしか知らなかったのですが、、
【質問2】問題文を見たときにどのように解いていったらいいのか全くわかりませんでした。PとQを文字で置いてみたりいろいろしたのですが、なにかしら解答の道筋としてのポイントは問題文のどこをみてどう解いていこうと思うのでしょうか？
No.52665 - 2018/08/06(Mon) 02:03:10
☆ Re: 中点の軌跡 / X
まず、直線PQの方程式から。
一般に直線の方程式はご存知の通り
ax+by+c=0 (A)
と表すことができます。
これが点A(2,4)を通るので
2a+4b+c=0 (B)
(A)-(B)より
a(x-2)+b(y-4)=0 (A)'
となります。
これは一般の場合も同じで
点(p,q)を通る直線の方程式は
a(x-p)+b(y-q)=0 (C)
と表すことができます。

次に直線OMの方程式について。
(C)から直線OMの方程式は
rx+sy=0 (D)
と置くことができます。
後はPQ⊥OMであることから
(A)'(D)の間の垂直条件を
考えます。
(この垂直条件は恐らく教科書には載っていません。
数学Iの参考書を調べてみましょう。
チャート式位の難度のものをを調べないと
載っていないかも知れません。

但し、(C)についてもそうですが
数学Iの参考書を調べても、
数学Iのレベルでは、
「垂直条件の式の形のこういうものだ」
ということだけで、その形の意味する
深い意味は学年が進んで
ベクトルの内積
を学習しないと理解できません。
その点は注意して下さい。)
No.52667 - 2018/08/06(Mon) 06:11:32
☆ Re: 中点の軌跡 / さくら
この問題は問題文を読んでから、問題文のどのポイントをみてどのように解くのか道筋をかんがえるのでしょうか？
No.52669 - 2018/08/06(Mon) 08:00:03
☆ Re: 中点の軌跡 / らすかる
> 問題文のどのポイントをみてどのように解くのか道筋をかんがえる

パターン化されている基礎問題では問題文のパターンから
そのようなポイントがあるかも知れませんが、
応用問題では「ここを見れば解き方の道筋がわかる」
といったポイントはありません。
問題文を全部読んで軌跡を求める問題であるということを
理解し、今までに学んだ軌跡の解き方のパターンを
思い出して解くのが普通だと思います。
よって解き方を簡単に思い付くためには、類題を
たくさん解いて自分の引き出しを増やすしかありません。
この問題に関しても、解き方は一通りではありません。
書かれた解答のような解き方を学習している途中だから、
あるいは解答を作った人が考えた解き方がたまたま
そのような方法だったかだと思いますが、
いろいろな解き方を身に付けないと同類の問題が早く解ける
ようになりませんので、まずは解答に書いてある解き方が
記憶に残るように深く理解しましょう。
他の解き方では、幾何学的な考え方を使う解き方が
最も簡単なのではないかと思います。
No.52672 - 2018/08/06(Mon) 09:58:58