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記事No.52811に関するスレッドです
★ 微分方程式 / たなお
一般解の求め方がわからない微分方程式があるので、ご教授いただけないでしょうか。

y'^2 + xy' - y = 0

です。左辺の第１項が y'^2 をどう対処していいのかがわかりません。
よろしくお願いします。
No.52773 - 2018/08/08(Wed) 19:26:04
☆ Re: 微分方程式 / 関数電卓
与式の両辺を x で微分するとうまくいく。
No.52775 - 2018/08/08(Wed) 20:23:54
☆ Re: 微分方程式 / たなお
関数電卓さん

ありがとうございます。
xで微分してみました。

y'^2 + xy' - y = 0
⇔ 2y'y'' + y'+ xy'' - y' = 0
⇔ 2y'+ x = 0
⇔ y' = -x/2
⇔ y = -(1/4)x^2 + c （cは任意定数）

が、回答は y = c(x + c) となっていて一致しません。
私の計算過程が間違っているのでしょうか。。。
お手数ですが、ご指摘願います。
No.52802 - 2018/08/09(Thu) 17:22:51
☆ Re: 微分方程式 / たなお
すいません、途中おかしかったかもです。

y'^2 + xy' - y = 0
⇔ 2y'y'' + y'+ xy'' - y' = 0
⇔ 2y'y''+ xy'' = 0

ですね。両辺をy''で割ってはいけませんね。。
でも、ここからの計算方法が。。。。
No.52804 - 2018/08/09(Thu) 17:41:46
☆ Re: 微分方程式 / 関数電卓
> y'^2 + xy' - y = 0
> ⇔ 2y'y'' + y'+ xy'' - y' = 0
> ⇔ 2y'y''+ xy'' = 0
> ですね。両辺をy''で割ってはいけませんね。。

はい，ここまで OK です。この後、y”でくくって、

　(2y’＋x)y”＝0　∴ 2y’＋x＝0 …?@　or y”＝0 …?A

?@から ｙ＝−(1/4)x^2 ＋C …?B
?Aから y’＝C　∴ y＝Cx＋D …?C

となりますが、微分した式は元の式と同値ではないため、?B?Cが与式を満たすかどうか確認しなければなりません。

?Bを与式に戻し、y’＝−(1/2)x …?D，(y’)^2＝(1/4)x^2 …?E

?B?D?Eを与式に戻して、C＝0　∴ y＝−(1/4)x^2 …?F

同様に?Cを与式に戻すと D＝C^2 となり、y＝C(x＋C) …?G

が得られます。?Gを与式の 一般解、?Fを与式の 特異解 といいます。
No.52807 - 2018/08/09(Thu) 19:42:04
☆ Re: 微分方程式 / 関数電卓
一般解?Gの C に具体的な値を代入した
　y＝−x＋1，y＝2x＋4，… 等を 特殊解 といいます。

いくつかの特殊解と特異解?Fをグラフ表示すると 下図 のようになります。
?Fは特殊解が作る直線群すべてに接する 包絡線 になっています。
No.52811 - 2018/08/09(Thu) 20:43:34
☆ Re: 微分方程式 / たなお
関数電卓さん

返信が遅くなり申し訳ありません。
丁寧な解説ありがとうございました！おかげさまで、よく理解することができました！

最後にもう一点質問よろしいでしょうか？「特異解」という言葉をあまり聞き慣れていないのですが、「特異解」=「任意定数Cを含まない解」という理解でおおよそ合っていますか？もし違っていればご指摘願います。
No.52827 - 2018/08/10(Fri) 19:44:23
☆ Re: 微分方程式 / 関数電卓
>>「特異解」=「任意定数Cを含まない解」という理解で おおよそ 合っていますか？

おおよそあっていますが、きちんとした意味では違います。

冒頭の例でいいますと、一般解 y＝C(x＋C) は C にどのような値を与えても 直線 を表す式です。
特異解 y＝−(1/4)x^2 は ２次曲線 です。
すなわち、一般解の定数 C にどのような値を入れても２次曲線を表すことはできません。 このような解を 特異解 といいます。

特異解は、非線形の微分方程式 (y,y’,y”等に２次以上の項を含む方程式) で現れるようです。
尚 https://physnotes.jp/diffeq/diffeqsol/ 等も是非ご覧ください。
No.52828 - 2018/08/10(Fri) 20:43:19
☆ Re: 微分方程式 / たなお
回答ありがとうございます！
一般解の任意定数に、どんな値を入れてもイコールにならない解ということですね！
ご紹介いただいたURLも参照させていただきます！
最後まで、丁寧にありがとうございました！
No.52829 - 2018/08/10(Fri) 20:51:23