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記事No.53016に関するスレッドです
★ 三平方の定理と立体 / 中学数学苦手
512/3　が答えです。どの様にして解いていいいのか解りません。できれば図解と詳しい解説お願いします。
No.53016 - 2018/08/16(Thu) 07:46:47
☆ Re: 三平方の定理と立体 / X
条件から正四角錐の底面は一辺の長さが
8cmの正方形になっていますので
その面積は
8[cm]×8[cm]=64[cm^2]
後は高さを求めることを考えていきます。

今、問題の球を△ACEを含む平面で切った
断面を考え、この断面の円の中心をOと
します。
すると正四角錐の対称性から、Oは
球の中心と一致していますので
この円の半径は6cm。
円Oは△ACEの外接円ですので
OA=OE=OC=6[cm] (A)
一方、△BCEにおいて三平方の定理により
CE=8√2[cm] (B)
となるので辺CEの中点をFとすると
CF=4√2[cm] (C)
(A)により△OCEは二等辺三角形ですので
OF⊥CE
よって△OCFは直角三角形ですので
三平方の定理により
OF=√(OC^2-CF^2)=2[cm]

条件から△ACEはAC=AEの二等辺三角形
ですので、対称性により点O,A,Fは
同一直線上にあり、
AF⊥CE
つまりAFが問題の正四角錐の高さになり
AF=OA+OF=8[cm]

よって求める体積は
(1/3)×64[cm^2]×8[cm]=512/3[cm^3]
となります。
No.53018 - 2018/08/16(Thu) 09:40:56
☆ Re: 三平方の定理と立体 / 中学数学苦手
何となく解りました。解説ありがとうございます。
No.53020 - 2018/08/16(Thu) 12:50:41
☆ Re: 三平方の定理と立体 / らすかる
答えは512/3だけではないですね。
球の中心が正四角錐の外側にある可能性があり、
その場合の体積は256/3となります。
従って、正解は「512/3[cm^3]または256/3[cm^3]」であり、
512/3[cm^3]だけ答えるのは間違いだと思います。
No.53024 - 2018/08/16(Thu) 15:33:45
☆ Re: 三平方の定理と立体 / X
＞＞らすかるさんへ
問題に与えられている略図と
解答が球の中心が正四角錐の内側
にある場合しか与えられていない
ことを見る限り、この問題の作成者は
球の中心が正四角錐の内側にある
ことを前提にして問題を作成して
いると思われます、

(球の中心が正四角錐の内側にあるという
説明が問題文にない点で問題としては
不十分でしょうが。)
No.53025 - 2018/08/16(Thu) 18:51:23
☆ Re: 三平方の定理と立体 / らすかる
略図で球の中心Oが記載されていて
底面BCDEより上にあることが読み取れれば
512/3だけで納得できますが、
この問題と図だけではそのような条件はありませんので
「512/3だけ」を正解とするなら問題不備ですね。
入試に出たりしたら問題になるレベルだと思います。
No.53026 - 2018/08/16(Thu) 20:40:24