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記事No.53086に関するスレッドです
★ 高校数学・積分(面積) / HC
xy平面上に0≦y≦sinx(0≦x≦π)で表される図形Dがある．いま，図形Dを直線y=k(0≦k≦1)に関して折り返し，折り返した部分と元の図形Dが重なった部分の面積をSとおくとき，Sが最大となるようなkの値を求めよ．
kと1/2の大小で場合分けをしたのですが，0≦k≦1/2の場合の折り返したグラフとx軸との交点のx座標を文字で置いたところ面積が求められませんでした．
宜しくお願いします．
No.53029 - 2018/08/17(Fri) 09:48:59
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / X
0≦k≦1/2のときの、折り返した部分のうち
y軸の下側にはみ出る部分の山形の高さは
(1-k)-k=1-2k (A)
又、この部分の面積をU、折り返した部分の
面積をTとすると
S=T-U

ご質問の内容を見る限り、
1/2＜k≦1 (B)
のときのSの計算はできているようですので
これと同じ方針で上記のT,Uの計算を
してみましょう。

Tは(B)のときのSの計算結果そのまんまです。

又、(A)により、UはDを直線
y=1-(1-2k)
つまり
y=2k
で折り返した場合の折り返された部分の
面積になります。
ですので(B)のときのSにおいて、
kの代わりに2kを代入したものになります。
No.53032 - 2018/08/17(Fri) 12:51:17
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / 関数電卓
まず図を。
No.53086 - 2018/08/19(Sun) 10:34:49
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / 関数電卓
(i) 0≦k≦1/2 のとき
図のようにα,βを sin(α)＝k、sin(β)＝2k で定めると、α,βは k の関数で
　(1/2)S(k)＝∫[α,β](sin(x)−k)dx＋k(π/2−β)
　　＝…＝cos(α)−cos(β)＋k(α−2β＋π/2)

　(d/dk)(1/2)S(k)＝−sin(α)(dα/dk)＋sin(β)(dβ/dk)＋(α−2β＋π/2)＋k(dα/dk−2dβ/dk)
　　＝α−2β＋π/2

　dS(k)/dk＝0 となる k に対し α−2β＋π/2＝0　∴ α＋π/2＝2β
　sin(α＋π/2)＝sin(2β)　∴ cos(α)＝2sin(β)cos(β)　∴ √(1−k^2)＝2･2k･√(1−4k^2)
両辺を平方して整理すると
　64(k^2)^2−17k^2＋1＝0　∴ k^2＝(17＋√33)/128　k＝√((17＋√33)/128)　(＝0.421…)

↑増減、無縁根の評価をしていないので、答案としては不完全ですが、取り敢えず。
No.53087 - 2018/08/19(Sun) 11:15:03
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / らすかる
√((17+√33)/128) = (1+√33)/16 ですね。
No.53089 - 2018/08/19(Sun) 11:31:36
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / 関数電卓
有り難うございます。速いですね！〜
No.53092 - 2018/08/19(Sun) 11:39:02
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / 関数電卓
No.53087 を補います。

k^2 の２次方程式 64(k^2)^2−17k^2＋1＝0 のもうひとつの解 k^2＝(17−√33)/128 は、
　α＋π/2＝2β から sin(α＋π/2)＝sin(2β)
とした際に紛れ込んだ α＋π/2＝π−2β → sin(α＋π/2)＝sin(2β)
からもたらされたものだから不適。

また、
　(d^2/(dk)^2)(1/2)S(k)＝dα/dk−2dβ/dk＝1/√(1−k^2)−2/√(1−4k^2)＜0
より、α−2β＋π/2 は極大値を与える。

(ii) 1/2≦k≦1 のとき
　(1/2)S(k)＝∫[α,π/2](sin(x)−k)dx=+cos(α)＋k(α−π/2)
　(d/dk)(1/2)S(k)＝−sin(α)(dα/dk)＋α−π/2＋k(dα/dk)＝α−π/2＜0
よって、S(k) は単調減少。

以上を総合し、S(k) の最大値を与える k は k＝(1＋√33)/16
No.53095 - 2018/08/19(Sun) 14:57:04
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / 関数電卓
ご参考まで
No.53109 - 2018/08/19(Sun) 20:33:19