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記事No.53151に関するスレッドです
★ 数?V 極限 (難問) / Iris Murdoch
関数f(x)をf(x)＝(1/2)x[1+e^{-2(x-1)}]で定義する。このとき、以下の設問に答えよ。

(1)x＞1/2ならば0≦f'(x)＜1/2であることを示せ。

(2)数列{x[n]}をx[0]＝a,x[n+1]=f(x[n]) (n＝0,1,2,…)で定義する。a＞1/2のとき、lim[n→∞](x[n])を求めよ。
No.53150 - 2018/08/21(Tue) 11:55:36
☆ Re: 数?V 極限 (難問) / RYO
(1)
　f'(x)
＝(1/2)[1+e^{-2(x-1)}]+(1/2)x・(-2)e^{-2(x-1)}
＝1/2+(1/2-x)e^{-2(x-1)}
　f''(x)
＝-e^{-2(x-1)}+(1/2-x)・(-2)e^{-2(x-1)}
＝2(x-1)e^{-2(x-1)}

ゆえに、f'(x)の増減表は添付画像のようになる。

したがって、x＞1/2のときf'(x)は常に0≦f'(x)＜1/2を満たす。

(2)
【方針】
(1)の結果及び
　α＝(1/2)α[1+e^{(-2)(α-1)}]
を解くことにより、求める極限値を1と予想した上で、実際に1に収束することをはさみうちの原理で示す。

【解答】
x[n+1]＝f(x[n]),1＝f(1)なので
　|x[n+1]-1|＝|f(x[n])-f(1)|　…?@
が成り立つ。

(i)x[n]＝1のとき
　|x[n+1]-1|
＝|f(1)-f(1)|
＝0
＝|x[n]-1|

(ii)x[n]≠1のとき
f(x)は実数全体で微分可能なので、平均値の定理により、
　min{x[n],1}＜c[n]＜max{x[n],1}　…?A
かつ
　f(x[n])-f(1)＝f'(c[n])・(x[n]-1)
を満たすc[n]が存在する。

よって、?@より
　|x[n+1]-1|
＝|f(x[n]-f(1)|
＝|f'(c[n])||x[n]-1|　…?B

ここで、すべての非負整数nについてx[n]＞1/2が成立することを数学的帰納法により示す。

(ア)n＝0のとき
条件より、x[0]＞1/2は成立する。

(イ)x[k]＞1/2(k＝0,1,2,…)と仮定する。
このとき、(1)よりf(x)はx＞1/2の範囲で単調増加するので、
　x[k+1]
＝f(x[k])
＞f(1/2)
＝(1/4)(1+e)
＞(1/4)(1+1)　(∵e＞1)
＝1/2

以上(ア)(イ)より、すべての非負整数nについてx[n]＞1/2が成立することが示された。

∴?Aと合わせてc[n]＞1/2となり、(1)より
　0≦f'(c[n])＜1/2
が成り立つ。

したがって、?Bより
　|x[n+1]-1|
＝|f'(c[n])||x[n]-1|
＜(1/2)|x[n]-1|

以上(i)(ii)より、
　|x[n+1]-1|≦(1/2)|x[n]-1|
が常に成立する。

この不等式を繰り返し用いて、
　0
≦|x[n]-1|
≦(1/2)|x[n-1]-1|
≦(1/2)(1/2)|x[(n-1)-1]-1|
≦…
≦{(1/2)^(n-1)}|x[1]-1|
≦{(1/2)^n}|x[0]-1|

したがって、lim[n→∞][{(1/2)^n}|x[0]-1|]＝0よりはさみうちの原理を用いて、
　lim[n→∞](|x[n]-1|)＝0

∴lim[n→∞](x[n])＝1
No.53151 - 2018/08/21(Tue) 13:10:19
☆ Re: 数?V 極限 (難問) / Iris Murdoch
これはまさしく圧巻ですね……！
素晴らしい回答をありがとうございました！！
No.53156 - 2018/08/21(Tue) 18:02:44