[ 掲示板に戻る ]
記事No.53236に関するスレッドです
★ 1階n次微分方程式 / たなお
画像の例題1について質問です。

問題自体はちゃんと解け、解説も問題なく理解できますが、1点疑問があります。

疑問に感じてるのは、一般解の左辺の任意定数に関して、左右の()内でどっちも c を使っている点です。(xy-c1)(x^2y-c2)=0 のように、任意定数を2つ使ったほうがいいのではないかと思ってしまいます。
1階微分方程式の任意定数は1つだから c のみで解説しているのだとは思いますが、左右の()で任意定数が一致しなくても、左右どちらかが0になれば式は成り立ちます。むしろ両方cとしてしまうと、c1=c2 の場合のみに限定されてしまい、c1≠c2 の場合が含まれないので不十分にすら思います。

やはり、1階微分方程式の任意定数は1つということが優先されるのでしょうか？

文書が分かりづらく伝わりにくいかと思いますが、どなたかご教授よろしくお願い致します。
No.53236 - 2018/08/23(Thu) 20:15:20
☆ Re: 1階n次微分方程式 / 関数電卓
「2 つの１階微分方程式
　x･dy/dx＋y＝0　と　x･dy/dx＋2y＝0
が、単にかけ算でくっつけられている」

と考えればよろしいのでは？

> １階微分方程式の任意定数は1つだから c のみで解説しているのだとは思いますが

そうなのでしょうね。で、

　xy−c＝0 で x＝0, y＝0, y＝c/x 系をすべて表し
　x^2･y−c＝0 で x＝0, y＝0, y＝c/x^2 系をすべて表し

ているわけですから、

> むしろ両方cとしてしまうと、c1=c2 の場合のみに限定されてしまい、c1≠c2 の場合が含まれないので不十分

と考え込まれる必要はない、と私は思いますが如何でしょうか。
No.53267 - 2018/08/24(Fri) 14:25:31
☆ Re: 1階n次微分方程式 / 関数電卓
お尋ねのものとは別の例ですが、微分方程式
　x･dy/dx＝2y
は、
　y＝Cx^2
を一般解とします。
これとても、特殊解としては y＝2x^2 とか y＝−3x^2 とかに限定せず、下図の着色線ように、曲線群を連続的に渡り歩くもので良い とするのがゆるやかな考え方です。
No.53270 - 2018/08/24(Fri) 17:38:22