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記事No.53562に関するスレッドです
★ 数列 / Bertrand Russell
この問題の解き方を教えてください。

よろしくお願いします。m(_ _)m
No.53562 - 2018/09/06(Thu) 10:44:26
☆ Re: 数列 / RYO
【方針】
序盤の数項を具体化してみると(「実験」をしてみると)、{b[n]}項と{a[n]}項が交互に出現することに気づく。そこで、「数列{a[n]}と数列{b[n]}が同じ数を共有することはない」、すなわち「題意を満たす数は存在しない」という結論を予想し、数学的帰納法を用いてこれを論証する。

【解答】
任意の自然数nについて、b[n]＜a[n]＜b[n+1](…?@)が成立することを、数学的帰納法により示す。

(i)n＝1, 2のとき
a[1]＝4, a[2]＝7, b[1]＝3, b[2]＝5, b[3]＝8なので?@は成立する。

(ii)n＝k, k+1(kは自然数)のとき?@が成立すると仮定する。
このとき、仮定より
　b[k]＜a[k]＜b[k+1] かつ b[k+1]＜a[k+1]＜b[k+2]
⇒b[k]+b[k+1]＜a[k]+a[k+1]＜b[k+1]+b[k+2]　…?A
が成立する。
また、条件より
　a[k]+a[k+1]＝a[k+2]　…?B
　b[k]+b[k+1]＝b[k+2]　…?C
　b[k+1]+b[k+2]＝b[k+3]　…?D
が成立する。
?Aに?B〜?Dを代入すると、
　b[k+2]＜a[k+2]＜b[k+3]
となり、n＝k+2のときも?@は成立する。

以上(i)(ii)より、任意の自然数nについて?@が成立することが示された。

これにより、数列{a[n]}, {b[n]}の構成数を小さい順に並べると、
　b[1]＜a[1]＜b[2]＜a[2]＜b[3]＜…
のように、{b[n]}項と{a[n]}項が交互に配列されることが分かる。

したがって、題意を満たす数は存在しない。
No.53563 - 2018/09/06(Thu) 11:30:01
☆ Re: 数列 / らすかる
別解
c[n]=a[n]-b[n]とするとc[1]=a[1]-b[1]=1, c[2]=a[2]-b[2]=2,
c[n+2]=a[n+2]-b[n+2]=(a[n+1]+a[n])-(b[n+1]+b[n])
=(a[n+1]-b[n+1])+(a[n]-b[n])=c[n+1]+c[n]
c[n]は増加列だからc[n]＞0、よってa[n]＞b[n]
d[n]=b[n+1]-a[n]とするとd[1]=b[2]-a[1]=1, d[2]=b[3]-a[2]=1,
d[n+2]=b[n+3]-a[n+2]=(b[n+2]+b[n+1])-(a[n+1]+a[n])
=(b[n+2]-a[n+1])+(b[n+1]-a[n])=d[n+1]+d[n]
d[n]は増加列だからd[n]＞0、よってb[n+1]＞a[n]
従ってb[1]＜a[1]＜b[2]＜a[2]＜b[3]＜…
となるので両方に現れる数は存在しない。
No.53564 - 2018/09/06(Thu) 12:28:01