2015年の大学への数学を読んでいて掲載されていたものなのですが、手も足もでません。左辺が合成関数なので微分かなとか、次数に着目すると1次式になるのかなとか考えています。宜しくお願い致します。
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No.53670 - 2018/09/10(Mon) 20:23:34
| ☆ Re: 高3です / del | | | 解法の概略
f(x+f(x)f(y))=(1+y)f(x) ...?@
[1]f(y1)=f(y2)ならばy1=y2 (単射)であることを示す。
[2]?@にx=1,y=1を代入することで得られる式を?Aとする。
[3]?@にx=1+{f(1)}^2,y=1を代入することで得られる式と式?Aから
f(α)=4f(1)...?B を得る。
[4]?@にx=1,y=3を代入することで
f(β)=4f(1)...?C を得る。
[5]?B,?Cよりα=β したがってf(3)=3f(1)...?D
[6]?@にx=1,y=2を代入することで
f(1+f(1)f(2))=3f(1)...?E を得る。
[7]?D,?Eよりf(1)f(2)=2
[8](f(1),f(2))=(1,2)のとき、f(x)=x であることを帰納法で示す
[9](f(1),f(2))=(2,1)のとき、f(3)の値を調べることで条件を満たすf(x)が存在しないことを示す。
以上によりf(x)=x
もしかしたらもっと簡単な方法があるかもしれませんが、以上のような手順で解を求めることができます。
解法が天下り的ですが試行錯誤の結果なのであしからず...。
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No.53727 - 2018/09/11(Tue) 21:37:05 |
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