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記事No.53678に関するスレッドです
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論証の妥当性について
/ Lewis Thomas
引用
問. 任意の実数x, y, zに対し、不等式a(x^2)+y^2+a(z^2)-xy-yz-zx≧0が成立するような定数aの値の範囲を求めよ。
この問題に対する解答として、添付画像のような議論は論理的に妥当と言えるでしょうか？
No.53678 - 2018/09/10(Mon) 22:31:06
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Re: 論証の妥当性について
/ らすかる
引用
○☆が何だかわかりませんが、多分2行目の式なのでしょうね。
あと7行目の「よって、x^2+z^2≧0 8^n」の最後の8^nは何のことだか
少し考えました。人が見るものはもう少し綺麗に書いた方がよいと思います。
それはそうとして、
基本的には論理的に正しいですが、書き方の問題として
「…が成り立つためには、(a-1)(x^2+z^2)≧0が成り立てばよい。」
という表現は必要十分条件と勘違いされかねませんので、
十分条件ということを明確にするには
「少なくともa-1≧0であれば…が成り立つ。」
などのように書いた方がよいと思います。
それから、a＜1のときに成り立たないことを言うには
具体的な値の反例を一つ挙げればよいので、例えば
x=y=z=1のとき(与式の左辺)=2a-2≧0が成り立つためには
少なくともa≧1でなければならない。逆にa≧1ならば
(与式の左辺)
={(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/2+(a-1)(x^2+z^2)≧0
なので、任意のx,y,zに対して与不等式は成り立つ。
よってa≧1。
あたりにすると簡潔になってよいと思います。
No.53694 - 2018/09/11(Tue) 03:45:01
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Re: 論証の妥当性について
/ Lewis Thomas
引用
>○☆が何だかわかりませんが、多分2行目の式なのでしょうね。
>あと7行目の「よって、x^2+z^2≧0 8^n」の最後の8^nは何のことだか
>少し考えました。人が見るものはもう少し綺麗に書いた方がよいと思います。
こちらの不手際でご迷惑をおかけし、大変申し訳ありませんでした。以後気を付けます。
>基本的には論理的に正しい
ありがとうございます。
>書き方の問題として
>「…が成り立つためには、(a-1)(x^2+z^2)≧0が成り立てばよい。」
>という表現は必要十分条件と勘違いされかねませんので、
>十分条件ということを明確にするには
>「少なくともa-1≧0であれば…が成り立つ。」
>などのように書いた方がよいと思います。
貴重なご助言をいただきありがとうございます。以後気を付けます。
>それから、a＜1のときに成り立たないことを言うには
>具体的な値の反例を一つ挙げればよいので、例えば
>
>x=y=z=1のとき(与式の左辺)=2a-2≧0が成り立つためには
>少なくともa≧1でなければならない。逆にa≧1ならば
>(与式の左辺)
>={(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/2+(a-1)(x^2+z^2)≧0
>なので、任意のx,y,zに対して与不等式は成り立つ。
>よってa≧1。
>
>あたりにすると簡潔になってよいと思います。
たしかにそのとおりですね。今後はより簡潔・明快な答案作成を心掛けたいと思います。
懇切丁寧にご指導いただき、誠にありがとうございました。
また機会がありましたらよろしくお願いいたします。
No.53702 - 2018/09/11(Tue) 07:45:35
