★★★★★ 徳島大医学 過去問 証明難 ★★★★★
問題 鮮明 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
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★ 質問は、(2),(3) の証明だけです。
お助けください。
何卒、宜しく御願い致します。
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No.53772 - 2018/09/15(Sat) 07:49:47
| ☆ Re: 徳島大医学 過去問 証明難 / X | | | (2)
前半)
t=x^2と置くと(1)の結果により、
問題はtの方程式
t+1/t=2/cos2θ (A)
のt＞0なる解の個数が2個である
ことを示すことに帰着します。
ここで(A)より
t^2-2t/cos2θ+1=0 (A)'
∴(A)'の解の判別式をDとすると
D/4=1/(cos2θ)^2-1=(tan2θ)^2 (B)
条件から
0＜θ＜π/4
∴0＜2θ＜π/2 (C)
ですので(B)より
D/4＞0 (B)'
(B)'と(A)'の左辺の定数項に注目した
解と係数の関係により(A)'は
異なる二つの正の実数解
を持つので問題の命題は成立します。
後半)
問題の二点のx座標をα、βとすると
前半の結果によりα、βは(A)'の解
ですので解と係数の関係から
α+β=2/cos2θ
αβ=1
∴求める二点間の距離をlとすると
l^2=(α-β)^2+(1/α-1/β)^2
=(α+β)^2+(1/α+1/β)^2-4αβ-4/(αβ)
=(α+β)^2+{(α+β)/(αβ)}^2-4αβ-4/(αβ)
=(2/cos2θ)^2+(2/cos2θ)^2-4-4
=8(tan2θ)^2
∴(C)より
l=(2√2)tan2θ
(3)
前半)
条件から点Q[1]、Q[2]は隣り合っているので
∠Q[1]OQ[2]=2θ=2π/6
∴θ=π/6
後半)
前半及び(2)の結果から
Q[1]Q[2]=(2√2)tan(π/3)=2√6
又、問題の正六角形の隣り合う二つの頂点と
原点とでできる三角形は正三角形ですので
OA=OB=OQ[1]=OQ[2]=OQ[3]=OQ[4]=2√6
ここで条件から問題の正三角形は
直線y=-xに関し対称
で点Q[1],Q[2],Q[3],Q[4]は
正六角形の中心である点Oを通り、
直線y=-xに垂直である
直線y=xを通りません。
以上のことと正六角形の点Oに関する
対称性から
点A,Bは直線y=-xの上にあり
かつ
点Aは第2象限の点
点Bは第4象限の点
よって
A(-(2√6)/√2,(2√6)/√2),B((2√6)/√2,-(2√6)/√2)
∴A(-2√3,2√3),B(2√3,-2√3)
となります。
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No.53775 - 2018/09/15(Sat) 09:19:19 |
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