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記事No.53855に関するスレッドです
★ シンプルですが、なかなか解けません / 田中
三角形ＡＢＣで、ＡＢ＞ＡＣ　とします。底角の２つから角の二等分線を引きます。すると図のようにＢＤとＣＥができます。　このとき、ＢＤ＞ＣＥ　となることを証明せよ。どなたか、やってみませんか。
No.53855 - 2018/09/18(Tue) 18:19:17
☆ Re: シンプルですが、なかなか解けません / らすかる
∠CEB≧90°のとき
BCの垂直二等分線とABの交点をF、CFとBDの交点をG、
∠BCFの二等分線とABの交点をHとするとBD＞BG=CH＞CE
∠CEB＜90°のとき
BDとCEの交点をIとしてIからAB、ACに垂線IJ、IKを下ろすと
∠CDB=180°-∠ACB-∠ABC/2＜180°-∠ACB/2-∠ABC=∠CEBつまり
∠KDI＜∠JEI＜90°でIJ=IKなのでID＞IE
また∠IBC＜∠ICBからIB＞IC、よってBD=IB+ID＞IC+IE=CE
No.53856 - 2018/09/18(Tue) 20:24:29
☆ Re: シンプルですが、なかなか解けません / 田中
ありがとうございました。前半すぐにわかりました。後半は、やはり複雑ですね。まだ、理解できていませんので、努力します。やはり、らすかる様です。
No.53869 - 2018/09/19(Wed) 00:13:33
☆ Re: シンプルですが、なかなか解けません / らすかる
では後半を説明します。

△CEBの内角の和は∠CEB+×+×+□=180°
△CDBの内角の和は∠CDB+×+□+□=180°
第1式から第2式を引くと∠CEB-∠CDB+×-□=0°
つまり∠CEB-∠CDB=□-×＞0（∵AB＞ACから□＞×）
ですから常に∠CEB＞∠CDBです。
よって∠CEBが鋭角のとき、∠CDBも鋭角となり
さらに∠CDBの方が小さくなります。

BDとCEの交点Iは内心ですから、IからAB、ACに
垂線IJ,IKを下ろすとIJ=IKとなります。
「内心」を使わなくても、IからAB,AC,BCに
垂線IJ,IK,ILを下ろせば
△IJB≡△ILBからIJ=IL
△ILC≡△IKCからIL=IK
なのでIJ=IKと言えます。

∠CEBと∠CDBは鋭角なので、
EはJよりもAに近く、DはKよりもAに近いです。
さらに∠CDB＜∠CEBでしたのでEJ＜DKとなり、
PK=EJとなるような点Pを線分DK上にとれば
△IEJ≡△IPKですから、ID＞IP=IEが言えます。
そして△IBCにおいて∠IBC＜∠ICBから
IB＞ICなのでID＞IEかつIB＞ICとなり、
BD=IB+ID＞IC+IE=CEが示されます。
No.53870 - 2018/09/19(Wed) 05:51:28
☆ Re: シンプルですが、なかなか解けません / 田中
お手数かけました。詳細な説明ありがとうございました。明確に理解できました。
No.53879 - 2018/09/19(Wed) 12:56:37