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記事No.53996に関するスレッドです
★ 数1 背理法の証明 / ボルト
343の問題について、背理法を使ってどのように証明すればよいのか分かりませんでした。詳しい解説よろしくお願いします。
No.53996 - 2018/09/26(Wed) 21:34:26
☆ Re: 数1 背理法の証明 / IT
x^2-y < 0 かつ　y^2+x>0 かつ　x+y=0 として矛盾を導きます。
y=-x を２つの不等式に代入すればいいと思います。
No.53997 - 2018/09/26(Wed) 21:59:38
☆ Re: 数1 背理法の証明 / ボルト
ここまで解けたのですが、どこで矛盾が生じるのかよく分かりません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.54000 - 2018/09/26(Wed) 22:18:30
☆ Re: 数1 背理法の証明 / IT
最後まで行かなくても、
下から３行目で　矛盾が起こっていませんか？

なお「・・・x^2-y < 0 かつ　y^2+x>0 ならば　x+y=0 」と仮定する。
としておられますが　おかしいです。
No.54001 - 2018/09/26(Wed) 22:53:41
☆ Re: 数1 背理法の証明 / ボルト
ITさんありがとうございました。矛盾に気づかず申し訳ございませんでした。もっと力をつけようと思います。これからもよろしくお願いします。
No.54002 - 2018/09/26(Wed) 23:16:01
☆ Re: 数1 背理法の証明 / ボルト
ITさんからの返信の下の2行 【なお~おかしいです。】の部分が、なぜか時間差で届き、今確認しているのですが どこがどの様におかしいのか気づくことができません。
すいません 教えてください。
No.54003 - 2018/09/26(Wed) 23:26:15
☆ Re: 数1 背理法の証明 / IT
今日はもう時間がないですし、ボルトさんが誤解されないように　うまく説明出来そうもありません。

どなたかお願いします。
No.54006 - 2018/09/27(Thu) 00:09:24
☆ Re: 数1 背理法の証明 / らすかる
背理法は証明すべき命題の否定を仮定して矛盾を導くものです。
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0ならばx+y≠0」の否定は
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0ならばx+y=0」ではありませんので、
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0ならばx+y=0」を仮定して矛盾が生じても
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0ならばx+y≠0」の証明にはなりません。
No.54008 - 2018/09/27(Thu) 02:32:15
☆ Re: 数1 背理法の証明 / ボルト
背理法の証明では、命題の結論部分だけを否定するのだと思っているのですがこの考えは違うのですか？例えばpならばqという命題があるとすると、pであるがqではないと仮定し矛盾を見つけるのが背理法の証明の仕方だと理解しているのですが違うのですか？私の考えが違うなら、この問題はどのように命題を否定すれば良いのですか？詳しい解説よろしくお願いします。
No.54010 - 2018/09/27(Thu) 06:56:41
☆ Re: 数1 背理法の証明 / らすかる
> 例えばpならばqという命題があるとすると、pであるがqではないと仮定し矛盾を
> 見つけるのが背理法の証明の仕方だと理解しているのですが違うのですか？
違いません。まったくその通りです。よって
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0ならばx+y≠0」を証明するためには
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0であるがx+y≠0でない」すなわち
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0であるがx+y=0である」すなわち
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0かつx+y=0である」を仮定しなければいけません。
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0ならばx+y=0である」はこれと異なる命題です。
例えば
「x＞-1かつx＜1ならばx≠0である」は偽で
「x＞-1かつx＜1ならばx=0である」も偽ですから、
「ならば」の後だけ変えても否定になっていませんね。
No.54015 - 2018/09/27(Thu) 11:52:26
☆ Re: 数1 背理法の証明 / ボルト
ITさんとらすかるさん、詳しい解説をありがとうございました。おかげで背理法をより理解することができました。これからもよろしくお願いします。
No.54021 - 2018/09/27(Thu) 20:18:21