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記事No.54019に関するスレッドです
★ 高校数学の難問#1 〜通過領域〜 / 鉄門に集いし100人の精鋭
　一辺の長さが1の正三角形ABCがあり，辺AB，BC，CA上（端点は除く）にそれぞれ点P，Q，Rをとる。三角形PQRが常に正三角形となるように3点P，Q，Rが動くとき，三角形PQRの周が通過する領域の面積を求めよ。
No.54009 - 2018/09/27(Thu) 06:22:28
☆ Re: 高校数学の難問1 / 関数電卓
図は後ほど。11√3/54 になりました。
No.54017 - 2018/09/27(Thu) 14:56:30
☆ Re: 高校数学の難問1 / 関数電卓
便宜上、正三角形の一辺を 2 で計算します。

図のように A, B, C を定める。助変数 t を用い P, Q を
　P(t, √3−√3t), Q(1＋t, √3t)
とすると、線分 PQ の方程式は
　y＝√3(2t−1)x−2√3t^2 …(1)

ひとつの実数 t に対し線分 PQ 上の (x, y) が定まるから、(1)を t の 2次方程式とみた
　2√3t^2−2√3x･t＋√3x＋y−√3＝0 …(2)
が t の実数解をもつ条件を考えて、

　D/4＝(√3x)^2−2√3(√3x＋y−√3)≧0

整理して y≦√3/2(x^2−2x＋2) …(3)

で、△ABC 内部かつ 青い放物線 の下部を線分 PQ は動く。

（以下、後ほど）
No.54018 - 2018/09/27(Thu) 16:43:16
☆ Re: 高校数学の難問1 / 関数電卓
対称性より、△PQR の周が動く部分の面積は下図の緑色の部分の面積 11√3/81 の 6 倍で 22√3/27。

△ABC の一辺が 1 ならば、その 1/4 で 11√3/54
No.54019 - 2018/09/27(Thu) 18:40:34
☆ Re: 高校数学の難問#1 〜通過領域〜 / 鉄門に集いし100人の精鋭
>関数電卓さん
正解！
お見事です。👏
No.54020 - 2018/09/27(Thu) 19:49:43