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記事No.54713に関するスレッドです
★ (No Subject) / ロイヤルナイツ
この問題教えてください。
No.54713 - 2018/10/27(Sat) 19:47:28
☆ Re: / X
既に(1)と(2)(i)の解答が書き込まれており、
正解ですので、理解できているものと解釈して
(3)(ii)のみ方針を。

(3)(ii)
実は(3)(i)はg(t)を具体的に計算するための
tの場合分けの一つであり、残りの
(I)t＜mのとき
(II)m≦t≦Mのとき
のg(t)を計算できれば、増減も調べられますので
g(t)の値の範囲も計算できます。

それでその計算ですが、(I)については
(1)の結果から
xlogx≧m
∴t-xlogx＜m-m=0
ということで、g(t)を構成する積分の
被積分関数の絶対値を外すと3(i)の
場合の結果に-が付くだけの形になっており
g(t)=-(3t-e^2-2/e)
=-3t+e^2+2/e

問題は(II)の場合ですが、これは
t-xlogx=0(1/e≦x≦e^2)
なるxの値を境界にして絶対値を外す必要があります。
今、このようなxの値をuとすると
t=ulogu (A)
1/e≦u≦e^2 (B)
で
g(t)=-∫[1/e→u]{(ulogu)/x-logx}dx+∫[u→e^2]{(ulogu)/x-logx}dx
=-u(logu)^2-ulogu+[xlogx][1/e→u]-∫[1/e→u]dx
+2ulogu-u(logu)^2-[xlogx][u→e^2]+∫[u→e^2]dx
=…(ここからの計算はご自分でどうぞ) (C)

ここで(A)をuについての方程式として解くことは難しいので
(C)を直接tの式で表すことはできません。

しかし、g(t)の値の範囲を求めるだけであれば
(C)を「uの関数として考える」ことで
(B)におけるg(t)の増減表を書けば可能です。
(つまりg(t)をuで微分するということです)

こちらの計算では求めるg(t)の値の範囲は
g(t)≧g(m)=e^2+5/e
となりました。
No.54743 - 2018/10/28(Sun) 21:18:46