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記事No.54980に関するスレッドです
★ 確率論 平均値についての証明 / らん
確率論の平均値の証明について解説をしていただきたいです。
証明の内容は、画像のように平均値を定義したとき、[EXの値は近似列Xnのとり方にやらないことを示したい]です。

画像にはその証明の冒頭を記載しました。
解説していただきたいのは、赤下線部の2部分です。

1つ目は、なぜ{ }が、Ωに近づくのかを解説していただきたいです。
2つ目は、(☆)がどのようにでてきたのかを解説していただきたいです。

よろしくお願いいたします。
No.54980 - 2018/11/12(Mon) 04:07:05
☆ Re: 確率論 平均値についての証明 / s
命題中で登場するX_nはXを下から近似する階段関数列ですね？
（単に「非負階段関数」とだけ書かれていますがそれでは命題は成り立ちません）

その場合X_n(ω)-ε < X(ω)となるので、X~_iがXを下から近似する関数なら十分大きいiに対して
X_n(ω)-ε< X~_i(ω) < X(ω)
とならないといけません。

2つ目に関してですが、
P(X~_i > X_n-ε)→1 (i→∞)
までOKなら
P(X~_i ≦ X_n - ε)→0 (i→∞)
なので、任意のδ>0に対して十分大きい番号mが存在し
P(X~_m ≦ X_n - ε) < δ
δ>0は任意の正数なので、(☆)の右辺のように取ってもかまいｍせん
No.54984 - 2018/11/12(Mon) 12:52:20
☆ Re: 確率論 平均値についての証明 / らん
ご回答ありがとうございます。
なぜX_n(ω)-ε<X~_i(ω)がでてくるのか、
二つ目の不等号の式について、よく理解できました。

しかし、一つ目の
{ω∈Ω;X~_i(ω)>X_n(ω)-ε}
がi→∞のとき増大しながらΩに近づくという部分が理解できません。
解説お願いいたします。
No.54990 - 2018/11/12(Mon) 15:04:11
☆ Re: 確率論 平均値についての証明 / s
任意のω∈Ωに対してiが十分大きければ、X_n(ω)-ε< X~_i(ω)

というのはOKなんですよね？
（Ωの定義が書かれていませんが、全体集合だとして。）

すると、今n, εは固定して考えていてiだけが大きくなっていくと思うと
集合{ω∈Ω; X~_i(ω)>X_n(ω)-ε}
はiと共に大きくなっていきますね？

たとえばi0 = 100のとき、ω_0 ∉ {ω∈Ω; X~_i0(ω)>X_n(ω)-ε}であったとしても、十分大きい例えばi1 = 1000のときには
X~_i1(ω_0)>X_n(ω_0)-ε
は成り立つはずなので
ω_0 ∈ {ω∈Ω; X~_i1(ω)>X_n(ω)-ε}
となります。

これはiを大きくしていくと集合{ω∈Ω; X~_i(ω)>X_n(ω)-ε}は点ω_0など全ての点を取り込んでいく、ということを意味するので
「i→∞のとき増大しながらΩに近づく」
と言ってもいいですね
No.54992 - 2018/11/12(Mon) 15:46:57
☆ Re: 確率論 平均値についての証明 / らん
理解できました！
sさん、ご丁寧に解説ありがとうございます。
No.54995 - 2018/11/12(Mon) 19:33:59