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記事No.54989に関するスレッドです
★ 確率論、平均値の証明 / らん
確率論の平均値に関する証明の解説をお願いしたいです。
問とその証明は画像に記載しました。

X=0 a.e.はP(X=0)=1の意味、
X+はX+≡max(X,0)、
X-はX-≡max(-X,0)と定義しています。

解説していただきたいのは、
1,Xnの定義の意味？です。
Xnがどういうものなのか調べるため、n=1の時を考えたのですが、いまいちピンときません。

2,Xn→X+
3,EXn=0
Xnがどういうものなのか分かれば、理解できると思っています。

長文になってしまい申し訳ございません。
よろしくお願いいたします。
No.54978 - 2018/11/12(Mon) 02:10:03
☆ Re: 確率論、平均値の証明 / s
χの定義が書かれてませんが、
χ_A(x) = x∈Aのときのみ1、その他では0
ですね？

あと和Σの範囲がk=0からk=2^(n+1)までになってますが、
k=n * 2^(n+1)まで
の間違いだと思います

その場合、X_nは関数Xの値域を1/2^n幅でスライスして下から近似する関数です
ちなみに正確には、値域を[0, n]の範囲に限定した上でスライスしています。
（もっと正確にいえば[0, (n*2^(n+1)+1)*2^(-n)) の範囲ですが）

近似関数X_nの本質を理解するために、X=0 a.e.という条件は関係ないので、例えば
X(x) = max(3-|x|, 0)
という関数の場合にX_3がどういう関数になるか考えてみてください。
この場合のX(x)およびX_3(x)のグラフを描いて考えればイメージが湧くと思います。
No.54982 - 2018/11/12(Mon) 12:36:31
☆ Re: 確率論、平均値の証明 / らん
ご丁寧な解説ありがとうございます。
自分なりに考えてみました。

sさんのおっしゃるX(x)=max(3-|x|,0)のときはよくわからなかったのですが、
X+=max(x,0)とX_3(x)のグラフを描いてみました。
あっていますでしょうか？

また、EXn=0に関して解説をお願いいたします。
No.54989 - 2018/11/12(Mon) 14:47:41
☆ Re: 確率論、平均値の証明 / s
そんな感じでOKです
（X(x)=max(3-|x|,0)のグラフは描けますか？このXは(0,3)を頂点とする三角形のグラフになって、近似階段関数もX(x)=max(x,0)の場合と似たような具合になります）

EX_n=0に関してですが、X_nはそれ自体が階段関数なので、近似列を考えなくても定義より=0が従います。
（もちろんX=0 a.e.という条件は使います）

もう少し噛み砕くと
EX_n = Σ_{k=1}^{k=n*2^n}(k/2^n)P(X∈[k*2^(-n), (k+1)*2^(-n))) = Σ(k/2^n) * 0 = 0
ですね (k=0の項は0になります。)

P(X∈[k*2^(-n), (k+1)*2^(-n))) ≦ P(X≠0) = 0
に注意してください。
No.54991 - 2018/11/12(Mon) 15:31:14
☆ Re: 確率論、平均値の証明 / らん
理解できました！
sさん、ご丁寧に解説ありがとうございます。
No.54996 - 2018/11/12(Mon) 19:35:04