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記事No.55156に関するスレッドです
★ 三角関数 / 霧雨
問：θを実数とするとき、sin(cosθ)とcos(sinθ)の大小を比較しなさい。

解説をお願いします。
No.55153 - 2018/11/21(Wed) 15:26:57
☆ Re: 三角関数 / らすかる
sin(cos(x+2π))=sin(cosx)
cos(sin(x+2π))=cos(sinx)
なので0≦x＜2πの範囲を考えれば十分。さらに
sin(cos(π-x))=sin(cos(π+x))
cos(sin(π-x))=cos(-sin(π+x))=cos(sin(π+x))
からx=πに関して対称なので0≦x≦πの範囲を考えれば十分。

0≦x＜π/2の場合
0＜cosx≦1
1＜π/2なので
0＜cosx＜π/2
x＞0のときsinx＜xなので
sin(cosx)＜cosx
また0≦x＜π/2のときcosxは減少関数でx≧0のときsinx≦xなので
cosx≦cos(sinx)
よってsin(cosx)＜cosx≦cos(sinx)

π/2≦x≦πの場合
-1≦cosx≦0
-π/2＜-1なので
-π/2＜cosx≦0
-π/2＜x≦0のときsinx≦0なので
sin(cosx)≦0
またπ/2≦x≦πのとき0≦sinx≦1
1＜π/2なので0≦sinx＜π/2
0≦x＜π/2のときcosx＞0なので
cos(sinx)＞0
よってsin(cosx)≦0＜cos(sinx)

従って任意のxに対してsin(cosx)＜cos(sinx)。
No.55154 - 2018/11/21(Wed) 16:58:00
☆ Re: 三角関数 / 関数電卓
ご参考まで。
No.55156 - 2018/11/21(Wed) 19:40:09
☆ Re: 三角関数 / 霧雨
>らすかるさん、関数電卓さん
回答ありがとうございました。
No.55170 - 2018/11/21(Wed) 22:23:13