[ 掲示板に戻る ]
記事No.55278に関するスレッドです
★ 重積分 / 数学むずかしいな〜
こんにちは。初めて投稿させていただきます。
重積分の問題について質問させていただきます。

xy平面で図１のような円盤領域をEとします。Eで連続な関数１/√(x^2+y^2)の積分を考えます。このままではどうにもならないので、極座標に変換します。これでは円盤領域が表しにくいので、さらに変換を施します。（添付写真をご参照ください）

この後、積分を解くことができないのですがどうすればよろしいでしょうか？
お答えいただけますと幸いです。失礼いたします。
No.55278 - 2018/11/27(Tue) 18:59:16
☆ Re: 重積分 / X
Eを極座標に変換したときのr、θの間の
関係式が求められていません。

Eを表す不等式は
(x-l)^2+y^2≦a^2
これを極座標変換すると
(rcosθ-l)^2+(rsinθ)^2≦a^2
これより
r^2-2lrcosθ+l^2-a^2≦0
これをrの二次不等式として解くことにより
lcosθ-√{a^2-(lsinθ)^2}≦r≦lcosθ+√{a^2-(lsinθ)^2}
よって
∫∫[E]dxdy/√(x^2+y^2)=∫[θ:0→2π]∫[r:lcosθ-√{a^2-(lsinθ)^2}→lcosθ+√{a^2-(lsinθ)^2}]drdθ
=2∫[θ:0→2π]√{a^2-(lsinθ)^2}dθ
これは楕円積分です。
特別な場合を除いて解析解が存在しません。
No.55287 - 2018/11/28(Wed) 05:29:51