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記事No.55332に関するスレッドです
★ 陰関数表示された曲線の接線について / 数研BOY
陰関数表示された曲線で、 y= の形で表せない式でも dy/dx 求められるのは分かったのですが、なぜ、その導関数に 曲線上の点A(m,n) を代入すると その点Aでの接線の傾きが得られるのですか？円とか楕円とかは関数ではないんですよね？
No.55325 - 2018/11/29(Thu) 19:14:12
☆ Re: 陰関数表示された曲線の接線について / 関数電卓
> 陰関数表示された曲線で、y= の形で表せない式でも dy/dx が求められるのは分かった
> 曲線上の点A(m,n) を代入すると

dy/dx は、その点における接線の傾きですから。

> 円とか楕円とかは関数ではないんですよね？

楕円 x^2/2^2＋y^2＝1 は平面上の曲線ですが、x を決めれば y が定まるので、関数 ですね。
No.55329 - 2018/11/29(Thu) 21:01:33
☆ Re: 陰関数表示された曲線の接線について / 関数電卓
　楕円 x^2/4＋y^2＝1 …?@　の両辺を x で微分すると

　x/2＋2y･dy/dx＝0 　∴ dy/dx＝−x/(4y) …?A

?@上の点 A(√3, 1/2) を?Aに代入した dy/dx＝−√3/2 は 点 A での接線の傾き ですね。
No.55332 - 2018/11/29(Thu) 21:44:14
☆ Re: 陰関数表示された曲線の接線について / らすかる
> 楕円 x^2/2^2＋y^2＝1 は平面上の曲線ですが、x を決めれば y が定まるので、関数 ですね。
xを決めてもyがただ一つに決まらないので、関数ではありません。
No.55335 - 2018/11/30(Fri) 00:09:26
☆ Re: 陰関数表示された曲線の接線について / 青茶会
返信ありがとうございます。
dy/dx は y=f(x) の導関数ですよね？陰関数表示され、かつ楕円のような方程式でも、 dy/dxは f(x,y)=0 の導関数であるのですか？教科書では「 f(x,y)=0で表されたxの関数yの導関数を求めるにはf(x,y)=0の両辺をxで微分する」 と書いてあります。陰関数表示されたyがxの関数ならば腑に落ちるのですが、どうしても楕円などの関数でない場合を考えると納得出来ないんです。ご教授願います。
No.55338 - 2018/11/30(Fri) 01:38:47
☆ Re: 陰関数表示された曲線の接線について / 数研BOY
ブラウザが異なるので違う名前でしたが先ほど質問させていただいた者です。
No.55339 - 2018/11/30(Fri) 01:40:48
☆ Re: 陰関数表示された曲線の接線について / らすかる
局所的に見れば「関数」ですから、局所的な導関数は求められますね。
例えば上にあるx^2/4+y^2=1で
y＞0の部分は y=√(1-x^2/4)なので
dy/dx=-x/{4√(1-x^2/4)}=-x/(4y)
y＜0の部分は y=-√(1-x^2/4)なので
dy/dx=x/{4√(1-x^2/4)}=-x/(4y)
よってy≠0の全体に対してdy/dx=-x/(4y)
これは両辺をxで微分して求めた結果と同じですから、
最初から両辺をxで微分して求めたものにA(m,n)を代入しても
接線の傾きが得られます。
No.55340 - 2018/11/30(Fri) 02:03:54
☆ Re: 陰関数表示された曲線の接線について / 数研BOY
なるほど！とても分かりやすい説明ありがとうございました！
おかげで理解できました！！
No.55356 - 2018/11/30(Fri) 22:49:10