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記事No.55534に関するスレッドです
★ (No Subject) / 高校生
この問題を教えてくださいm(*_ _)m
No.55534 - 2018/12/13(Thu) 19:44:11
☆ Re: / X
(2)は微分を使わない別解があるようなので、
(1)とまとめて、改めてアップし直します。
(元のレスは削除しましたのでご容赦を。)

(1)
△ABCの内接円の中心をO,Oから辺AB,BC,CAに
下ろした垂線の足をK,L,Mとすると
AK=OK/tan∠OAK=1/tanx
同様にして
KB=BL=1/tany
LC=CM=1/tanz
MA=1/tanz
∴
AB=AK+KB=1/tanx+1/tany
BC=BL+LC=1/tany+1/tanz
CA=CM+MA=1/tanz+1/tanx
よって△ABCの内接円の半径をrとすると
S=(1/2)r(AB+BC+CA)
=(1/2)・1・{(1/tanx+1/tany)+(1/tany+1/tanz)+(1/tanz+1/tanx)}
=1/tanx+1/tany+1/tanz

(2)
条件から△ABCの内角の和について
2x+2y+2・π/6=π
∴x+y=π/3-x (A)
一方(1)の結果により
S=1/tanx+1/tany+√3
=(cosx)/sinx+(cosy)/cosy+√3
=(cosxsiny+cosysinx)/(sinxsiny)+√3
=-2{sin(x+y)}/{cos(x+y)-cos(x-y)}+√3 (B)
(B)に(A)を代入して
S=(√3)/{cos(x-y)-1/2}+√3 (B)'
更に(A)より
y=π/3-x (A)'
∴(B)に代入すると
S=(√3)/{cos(2x-π/3)-1/2}+√3 (B)"
ここで(A)'より
π/3-x＞0
∴0＜x＜π/3
∴0＜2x＜2π/3
-π/3＜2x-π/3＜π/3 (C)
(C)のときの(B)"の第一項の分母である
cos(2x-π/3)-1/2
の値の範囲を求めることでSの最小値を求めていきます。


こちらの計算では
Sの最小値は3√3
(このときx=y=π/6)
となりました。
No.55537 - 2018/12/13(Thu) 20:44:24