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記事No.55653に関するスレッドです
★ 中学の立体のところ / モジモジ
中学3年生の問題です。
「点対称な立体は, 対称の中心を通る平面によって体積が二等分される」というのが理解できず教えてください！
現時点で自分が分かっている（と思っている）ことを写真に載せたので, そちらも合わせて理解があっているか教えてください！
No.55629 - 2018/12/19(Wed) 09:13:26
☆ Re: 中学の立体のところ / らすかる
対称の中心を通る平面で切って出来た二つの立体は、
「合同」ではありますが鏡像ですので
一般に回転して一致させることはできません。
右下の「これは○」と書いてある図も、
A,Cは対角に移動していますがB,Dは対角に移動していませんね。
ですから「回転してピッタリ重なるから合同」とは言えませんので、
平面のように「回転して合わせる」という考え方は捨てましょう。

対称の中心Oに関して点対称な立体は、
立体の内部の点Pに対してOに関して対称な点P'は立体の内部にあり、
立体の表面の点Qに対してOに関して対称な点Q'は立体の表面にある
のように対称な点が一対一に対応する
というのはOKですよね？
Oを通るある平面で切ったとして、便宜上一方を「表側」、他方を
「裏側」とします。
「表側」の立体の表面または内部の点Mに対して対称な点M'がありますが、
MとM'の中点が対称の中心Oですから、Mが「表側」の立体の点ならば、
M'は必ず「裏側」の立体の点になりますね。
従って表側の任意の点について、対称な点は裏側の点ですから
表側の立体と裏側の立体は完全に一対一に対応します。
従って「合同」（鏡像ですが）ですから、体積は等しくなります。

# もし「粘土」（あるいは消しゴム・芋・林檎など）のような
# 実際に切って試せる物体をお持ちでしたら、
# 一度「点対称な立体」（直方体あたりが簡単）を作って
# 対称の中心を通る平面で（回転して一致しないように斜めに）切り、
# 二つのうち一つを鏡に映して残りの一つと一致することを
# 観察すれば理解が深まるのではないかと思います。
No.55630 - 2018/12/19(Wed) 10:40:01
☆ Re: 中学の立体のところ / モジモジ
> 対称の中心を通る平面で切って出来た二つの立体は、
> 「合同」ではありますが鏡像ですので
> 一般に回転して一致させることはできません。
> 右下の「これは○」と書いてある図も、
> A,Cは対角に移動していますがB,Dは対角に移動していませんね。
> ですから「回転してピッタリ重なるから合同」とは言えませんので、
> 平面のように「回転して合わせる」という考え方は捨てましょう。

たしかに動いていない頂点がありましたね。あくまでも対称の中心に対して図形・立体の任意の点がその内部・表面に対称の点を持つ、という理解ですね。

> 対称の中心Oに関して点対称な立体は、
> 立体の内部の点Pに対してOに関して対称な点P'は立体の内部にあり、
> 立体の表面の点Qに対してOに関して対称な点Q'は立体の表面にある
> のように対称な点が一対一に対応する
> というのはOKですよね？

はい。

> Oを通るある平面で切ったとして、便宜上一方を「表側」、他方を
> 「裏側」とします。
> 「表側」の立体の表面または内部の点Mに対して対称な点M'がありますが、
> MとM'の中点が対称の中心Oですから、Mが「表側」の立体の点ならば、
> M'は必ず「裏側」の立体の点になりますね。
> 従って表側の任意の点について、対称な点は裏側の点ですから
> 表側の立体と裏側の立体は完全に一対一に対応します。
> 従って「合同」（鏡像ですが）ですから、体積は等しくなります。

言わんとすることはなんとなくですがわかります。

前回の質問とはおそらく違う内容になるのですが
そもそも立体において対称の中心はどうやって決めるのでしょうか。
とりあえず対角線の交点だったら大丈夫そう、程度でしかわかりません。対角線の交点じゃなくても対称の中心となる点は存在するのでしょうか。
No.55648 - 2018/12/20(Thu) 08:46:28
☆ Re: 中学の立体のところ / らすかる
> そもそも立体において対称の中心はどうやって決めるのでしょうか。
対称の中心は「決める」ものではなく「決まっている」ものですが、
これは「対称の中心はどうやって見つけるのでしょうか」という意味ですか？

> 対角線の交点じゃなくても対称の中心となる点は存在するのでしょうか。
「対称の中心となる点が存在する」⇔「点対称な図形」
ですから、「点対称な図形」ならば対称の中心点は存在します。
例えば球の対称の中心は球の中心ですが、これは「対角線の交点」ではありませんね。
No.55651 - 2018/12/20(Thu) 10:33:38
☆ Re: 中学の立体のところ / モジモジ

> 対称の中心は「決める」ものではなく「決まっている」ものです
>が、これは「対称の中心はどうやって見つけるのでしょうか」という意味ですか？

そういう意味で言いました、曖昧ですみません。。


> 「対称の中心となる点が存在する」⇔「点対称な図形」
> ですから、「点対称な図形」ならば対称の中心点は存在します。
> 例えば球の対称の中心は球の中心ですが、これは「対角線の交点」ではありませんね。

たしかに球の場合は対角線の交点とは言えませんね。あと、球は対称の中心が球の中心というのはイメージしやすいです（不思議です）

最初の投稿でいっていた"立体"とは具体的には画像の立体のことを言っていました。この立体をA, 切る面をBとすると、Bは平行四辺形なので、対角線の交点は2つの頂点の組の中点にあり、この2つの頂点の組にとっては、交点は少なくとも点対称の中心といえるのですが、この交点が他の任意の点にとって中心となる保証はどこにあるのでしょうか。
No.55653 - 2018/12/20(Thu) 12:37:48
☆ Re: 中学の立体のところ / らすかる
直方体ならば、空間座標で各辺を軸の方向に合せて
x方向：-a〜a、y方向：-b〜b、z方向：-c〜c、中心は原点
のように考えると簡単だと思います。
当然8頂点は(x,y,z)=(±a、±b、±c)　（複合任意で8通り）
となります。
(p,q,r)がこの直方体の内部または表面の点であれば、
原点に関して対称である(-p,-q,-r)も直方体の内部または表面にあり、
間違いなく原点が対称の中心となっていますね。
No.55655 - 2018/12/20(Thu) 13:04:36
☆ Re: 中学の立体のところ / モジモジ
> 直方体ならば、空間座標で各辺を軸の方向に合せて
> x方向：-a〜a、y方向：-b〜b、z方向：-c〜c、中心は原点
> のように考えると簡単だと思います。
> 当然8頂点は(x,y,z)=(±a、±b、±c)　（複合任意で8通り）
> となります。
> (p,q,r)がこの直方体の内部または表面の点であれば、
> 原点に関して対称である(-p,-q,-r)も直方体の内部または表面にあり、
> 間違いなく原点が対称の中心となっていますね。

返信ありがとうございます。
その考え方だと原点（対角線の交点）が対称の中心だというのがスッとわかりました。

今までのご回答をまとめて考えたところ次のような自己（流）解決になりましたので、もし理屈がおかしいところがあれば教えていただきたいです。

点対称な平面図形において、対称の中心に関して対称な点の組がN個（つまり点は全部で2N個あるとします）（これが実質的に平面図形の面積です）。ここで、対称の中心を通る直線mを引くと、mを境に左右にそれぞれN個ずつ点があることになるので、左右は合同だといえます。(m上の点は左右それぞれから等しく消せるので考慮してません）

このイメージをいい感じに立体に拡張して（ちょっとここがガバガバですが）断面を境にして2つの立体が合同といえる

という理解に至りました。
No.55670 - 2018/12/21(Fri) 08:42:22
☆ Re: 中学の立体のところ / らすかる
平面図形や立体図形の内部の点は無限個なので「両側の個数が等しい」と書くのは
数学的には正しくありませんが、大雑把なイメージとしてそのようにとらえるだけならば
特に問題ないと思います。
No.55672 - 2018/12/21(Fri) 14:08:24