ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 東工大模試です / Rio

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(2)は数学的帰納法では無理なのでしょうか。
普通に帰納法だと思ったのですが3つの模範解答例にもなかったので

No.55658 - 2018/12/20(Thu) 18:14:20

☆ Re: 東工大模試です / IT

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数学的帰納法でやるのでは？模範解答はどうやってますか？概略をお願いします。

(数学的帰納法）により証明する。

0＜a≦b≦c としても一般性を失わない。

任意の自然数nについて
(a^n)(2a-(b+c))+(b^n)(2b-(c+a))+(c^n)(2c-(a+b))
=(b-a)((c^n-a^n)+(b^n-a^n))+(c-b)((c^n-a^n)+(c^n-b^n))≧0　(等号はa=b=cのとき)なので

2a^(n+1)+2b^(n+1)+2b^(n+1)≧(a^n)(b+c)+(b^n)(c+a)+(c^n)(a+b)　(等号はa=b=cのとき)…（ア）

２以上の自然数nについて
　(a+b+c)^n≦(3^(n-1))(a^n+b^n+c^n) 　(等号はa=b=cのとき)と仮定すると。（帰納法の仮定）

両辺に(a+b+c)＞0を掛けて
(a+b+c)^(n+1)≦(3^(n-1))(a^n+b^n+c^n)(a+b+c)
＝(3^(n-1))(a^(n+1)+(a^n)(b+c)+b^(n+1)+(b^n)(c+a)+c^(n+1)+(c^n)(a+b))
（ア）より
≦(3^(n-1))(3a^(n+1)+3b^(n+1)+3c^(n+1))
＝(3^n)(a^(n+1)+b^(n+1)+c^(n+1))

したがって元の不等式は　n+1でも成立し　(等号はa=b=cのとき)：途中省略してます。

これと(1)とから、数学的帰納法により２以上のすべての自然数nで
　(a+b+c)^n≦(3^(n-1))(a^n+b^n+c^n) 　(等号はa=b=cのとき)が成り立つ。

これでどうでしょうか？
記述法は、n=k のとき成立を仮定し、n=k+1のとき成立を示すほうが良いかも知れませんね。

東工大の模試にしては簡単？なので、計算を間違っているかも知れませんの御自分で確認してください。

No.55659 - 2018/12/20(Thu) 19:51:58

☆ Re: 東工大模試です / Rio

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模範解答です