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記事No.55787に関するスレッドです
★ 整数問題 / 数弱モンキ
(2) が分かりません。お願いします。
No.55787 - 2018/12/28(Fri) 22:00:24
☆ Re: 整数問題 / IT
(1) n＝0 のときm=1. n＝1のときm=2. n＝2のときm=1.

n＞2のとき　3=2+1 として二項展開します。

3^n+1=(2+1)^n+1
=2^n+...C(n,3)8+C(n,2)4+C(n,1)2+1+1
=8A+(n(n-1)/2)4+2n+2　（Aは整数）
=8A+2n^2+2

n=2k+1(奇数）のとき
　3^n+1=8A+2(4k^2+4k+1)+2=8A+8(k^2+k)+4
　よってm=2

n=2k(偶数)のとき
　3^n+1=8A+8k^2+2
　よってm=1
No.55796 - 2018/12/29(Sat) 12:56:51
☆ Re: 整数問題 / らすかる
(2)
与式から (3^n)(x+y)=(2^n)xy … (a)
x=yのとき、yにxを代入して両辺を2xで割ると 3^n={2^(n-1)}x
3^nが2^(n-1)の倍数なのでn=1、x=y=3
x≠yのとき
(a)から {(2^n)x-3^n}{(2^n)y-3^n}=3^(2n) … (b)
x＜yとすると
(2^n)x-3^n=3^m, (2^n)y-3^n=3^(2n-m), 0≦m＜n（mは整数）
とおける。
このとき(2^n)x=3^n+3^m=(3^m){3^(n-m)+1}
3^(2k)≡1, 3^(2k+1)≡3 (mod 8) から
3^(n-m)+1≡2,4 (mod 8) なので右辺は2^3で割り切れない。
従ってn≦2
n=1のとき(b)から(2x-3)(2y-3)=9なので(x,y)=(2,6)
n=2のとき(b)から(4x-9)(4y-9)=81なので(x,y)=(3,9)
よってx,yの入れ替えとx=yの場合も含め、解は
(x,y,n)=(3,3,1),(2,6,1),(6,2,1),(3,9,2),(9,3,2)
ですべて。
No.55800 - 2018/12/29(Sat) 17:46:59