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記事No.55926に関するスレッドです
★ 数列 / キマイラ
この数列の極限値の求め方がわかりません

おそらく区分求積法を使うと思います

途中式も含めて教えてもらいたいです。

よろしくお願いします。
No.55926 - 2019/01/05(Sat) 13:01:51
☆ Re: 数列 / X
(1)
求める極限値をIとすると
I=lim[n→∞]Σ[k=1〜n]1/(n+k)
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1〜n]1/(1+k/n)
=∫[0→1]dx/(1+x) (∵)区分求積法による
=log2

(2)
求める極限値をIとすると
logI=lim[n→∞]log{(1/n)(n!)^(1/n)}
=lim[n→∞]log{{(1/n^n)(n!)}^(1/n)}
=lim[n→∞](1/n)log{(n!)/n^n}
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1〜n]log(k/n)
=∫[0→1]logxdx (∵)区分求積法による
=-1 (注)lim[x→+0]xlogx=0 (証明は省略します)
∴I=1/e

(3)
求める極限値をIとすると
I=lim[n→∞]Σ[k=0〜n-1]1/√(n^2+k^2)
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=0〜n-1]1/√{1+(k/n)^2}
=∫[0→1]dx/√(1+x^2) (∵)区分求積法による
後はこの定積分を計算します。
(ここからはご自分でどうぞ。)
No.55927 - 2019/01/05(Sat) 13:20:08