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記事No.55928に関するスレッドです
★ (No Subject) / キマイラ
写真の5問がわかりません

詳しく教えてください

答えは赤の字で書いておきました

よろしくお願いします。
No.55928 - 2019/01/05(Sat) 13:34:58
☆ Re: / X
上段の(1)
(与式)=[(1/2)arctan(x/2)][0→∞]
=π/4
上段の(2)
(与式)=[(1/2)e^(2x)][0→∞]
=1/2

中段の問題)
グラフによる面積比較を使います。
今、kを自然数として
点(k,0),(k,1/(k+1)^2),(k+1,1/(k+1)^2),(k+1,0)
を頂点とする長方形の面積と
曲線y=1/x^2,直線x=k,x=k+1及びx軸
で囲まれた図形の面積を比較することにより
1/(k+1)^2＜∫[k→k+1]dx/x^2
∴1/(k+1)^2＜1/k-1/(k+1)
となるので、n≧2なる自然数nに対し
Σ[k=1〜n-1]1/(k+1)^2＜Σ[k=1〜n-1]{1/k-1/(k+1)}
これより
Σ[k=2〜n]1/k^2＜1-1/n
(左辺はk+1を改めてkと置いた)
Σ[k=1〜n]1/k^2＜2-1/n
後は両辺のn→∞の極限を取ります。

下段の(1)
与式より
y'/y=k/x
両辺xで積分すると
log|y|=klog|x|+c
(cは積分定数)
∴|y|=(e^c)|x|^k
e^c=Dと置くと
|y|=D|x|^k (A)
(D＞0)
ここで問題の微分方程式は
y=0
のときも成立するので
(A)はD=0のときも成立。
よって解は
|y|=D|x|^k (B)
(D≧0)
更に(B)の両辺の絶対値を外すと
y=±Dx^k
つまり右辺のx^kの係数は任意の
実数を取れることになるので
求める一般解は
y=Cx^k
(Cは任意定数)

下段の(2)
y'+y/x=0
を下段の(1)と同じ方針で解くと
y=D/x(Dは任意定数)
よって問題の微分方程式((A)とします)
の一般解を
y=u(x)/x (B)
と置いて(A)に代入すると
u'(x)/x=1
これより
u'(x)=x
u(x)=(1/2)x^2+C
(Cは任意定数)
これを(B)に代入して、求める一般解は
y=(1/2)x+C/x
(Cは任意定数)
No.55942 - 2019/01/05(Sat) 22:22:31